Permutasi Melingkar (Siklis) Makin Seru Unsur Identik

Permutasi siklis dengan syarat atau unsur identik makin seru lagi. Circular permutation merupakan susunan yang bila diputar atau dirotasi maka susunan dianggap sama. Menyusun manik-manik warna-warni menjadi gelang kalung adalah contoh nyata permutasi melingkar. Sedangkan menyusun tempat duduk di kursi melingkari meja bundar adalah contoh permutasi siklis yang lebih sederhana.

Kali iini Paman APiQ mengajak Anda berpetualang dengan permutasi siklis tingkat lanjut – tipe olimpiade matematika – tetapi dengan cara bertahap.

“Geo menyusun kalung dengan 3 manik warna putih dan 3 manik warna merah. Bila di antara dua manik putih harus terdapat 1 manik selain putih maka ada berapa susunan manik yang mungkin?”

Jawab:

Karena putih harus terpisah 1 manik maka tepat hanya ada 1 susunan

P X P X P X

Dan karena merah juga hanya ada 3 manik maka hanya ada 1 susunan juga

P M P M P M

Jadi hanya ada 1 susunan kalung yang terbentuk. (Selesai).

“Geo menyusun kalung dengan 3 manik warna putih, 3 manik warna hijau, dan 3 manik warna merah. Bila di antara dua manik putih harus terdapat 2 manik selain putih maka ada berapa susunan manik yang mungkin?”

Jawab: Susunan putih hanya ada 1 cara.

P XY P XY P XY

Susunan selain putih ada beberapa cara.

a. Anggap Hijau selalu bersatu

HHH MMM = M HHH MM = MM HHH M

Ada 1 cara.

b Anggap Hijau dapat menyatu atau berpisah

HHH MMM

HH M H MM = H M HH MM

HM HM HM = MH MH MH

Ada 3 cara

Jadi seluruh susunan yang mungkin adalah 1 x 1 x 3 = 3 (Selesai).

Mari kita uji apa saja susunan 3 kalung itu?

P HH P HM P MM = P MH P HH P MM = P MM P HH P HM

P HH P MH P MM = P HM P HH P MM = P HM P MH P HM

P HM P HM P HM = P MH P MH P MH

Semua susunan kalung akan identik dengan 3 susunan di atas. Perlu diingat bahwa susunan kalung akan tetap sama dengan memutarnya (rotasi) atau dengan membaliknya (refleksi). Berbeda dengan orang duduk di kursi melingkar yang hanya bisa dirotasi tetapi tidak bisa dibalik.

Mari kita bandingkan dengan anilisis permutasi linier biasa.

Terdapat 6 manik (selain putih) maka terdapat 6! susunan.

Karena terdapat 3 warna identik hijau dan 3 warna identik merah maka,

6!/(3!3!)

Karena bisa dirotasi 6 posisi maka harus dibagi 6. Karena bisa dibalik atau dicerminkan maka harus dibagi 2.

= 6!/(3!3!) x 1/(6.2)

= 5.4 x 1/12

= 5/3

Bahkan permutasi linear biasa menghasilkan jawaban berupa pecahan yang tentu harus ditafsirkan lebih jauh lagi.

Mari kita bandingkan dengan analisis partial bagian demi bagian.

a. Anggap hijau berselang-seling dengan merah

HM HM HM = MH MH MH

b. Anggap ada bagian hijau-hijau

HH MH MM =HH MM HM

HH HM MM

Jadi total ada 3 cara konsisten dengan permutasi siklis Paman APiQ.

“Geo menyusun kalung dengan 3 manik warna putih, 3 manik warna hijau, 3 manik biru, dan 3 manik warna merah. Bila di antara dua manik putih harus terdapat 3 manik selain putih maka ada berapa susunan manik yang mungkin?”

Jawab:

Susunan putih hanya ada 1 cara. Susunan selain putih ada beberapa cara.

a. Anggap hijau selalu menyatu dan biru juga selalu menyatu

HHH BBB MMM = HHH MMM BBB

HHH MM BBB  M = HHH M BBB MM = M HHH M BBB M

Ada 2 cara

b. Anggap hijau selalu menyatu

HHH BBB MMM

HHH MM BBB M

HHH MM BB M B

 

 

 

 

 

 

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s