Pembuktian FPB KPK dengan Teori Himpunan Metode Tegak Lurus Koprima

Cara menghitung FPB KPK dengan metode tegak lurus koprima telah terbukti lebih mudah, cepat, dan asyik. Bahkan metode tegak lurus ini mudah bila kita gunakan untuk menghitung FPB KPK aljabar. Mari kita lebih mendalami FPB KPK dengan bukti-bukti formal.

Paman APiQ telah beberapa kali menulis penggunaan dan pembuktian FPB KPK korpima. Tetapi kita masih perlu terus mengembangkan bukti dan definisi yang lebih bagus lagi. Anda yang berminat lebih lanjut dapat bergabung dengan workshop dan training APiQ terdekat.

Workshop APiQ tulungagung

Agar lebih jelas tema yang kita diskusikan mari kita mengawali dengan contoh FPB KPK menggunakan himpunan.

Dari bentuk dasar irisan dan gabungan himpunan kita melangkah ke metode tegak lurus FPB KPK koprima dari Paman APiQ.

Paman ApiQ telah menuliskan beberapa pembuktian dengan teori himpunan beberapa waktu lalu. Kali ini kita akan membuktikan dengan lebih lengkap lagi. Dan mencoba mengatasi beberapa kesulitan dengan definisi yang lebih formal.

Definisi.
Himpunan A adalah himpunan yang beranggotakan faktor-faktor A sedemikian hingga hasil kali seluruh anggota A sama dengan nilai A. Cara penulisan anggota-anggota A tidak unik, terdapat beberapa cara berbeda.

Misal himpunan 12 = {2, 2, 3} = {4, 3} = {6, 2}

Nilai A adalah bilangan A itu sendiri yang merupakan hasil kali dari faktor-faktornya yang merupakan anggota himpunan A. Sehingga nilai A kadang dapat kita tulis sebagai A saja.

Misal nilai 12 = 12 = 2.2.3 = 4.3

Himpunan kosong = {} = {1}.
Karena 1 adalah faktor dari semua bilangan bulat positif maka himpunan yang beranggotakan 1 sama dengan himpunan kosong. Bahkan faktor 1 kadang tidak harus dituliskan.

Operasi irisan dan gabungan adalah standar sesuai dengan operasi pada teori himpunan.

Bukti

Irisan himpuan A dan himpunan B adalah FPB dari A dan B.

Kasus A dan B adalah pasangan bilangan koprima atau saling prima atau relatif prima.

Bukti FPB: Karena A dan B adalah korpima maka tidak memiliki faktor bersama kecuali 1 (dari definisi). Maka irisan A dan B = 1 yang merupakan FPB. (Terbukti).

Bukti KPK: Karena A dan B tidak memiliki irisan maka gabungannya beranggotakan anggota A ditambah anggota B. Sehingga nilai A U B adalah hasil kali A x B, yang merupakan KPK dari A dan B. (Terbukti).

A x B jelas dapat dibagi habis oleh A atau pun oleh B. Dan A x B adalah nilai terkecil karena merupakan operasi gabungan himpunan di mana bila ada anggota yang sama dipastikan hanya dihitung satu kali.

Kasus P dan Q bukan pasangan koprima.

Kita dapat menghubungkan P dan Q dengan pasangan koprima.

P = f x A
Q = f x B

Di mana A dan B adalah pasangan koprima dan f bilangan bulat lebih dari 1.

Bukti FPB: Irisan P dan Q adalah f yang merupakan FPB. Jelas f dapat membagi P dan Q. Dan f merupakan nilai terbesar karena merupakan irisan P dan Q (terbukti).

Bukti KPK: Gabungan dari P dan Q adalah {f, anggota A, anggota B} sehingga nilainya adalah f x A x B yang merupakan KPK. Jelas fAB dapat dibagi oleh P = fA mau pun oleh Q = fB. Dan fAB adalah nilai terkecil karena hasil dari operasi gabungan (terbukti).

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
angger | agus Nggermanto | Pendiri APiQ

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s