Bukti Cara Cepat Menghitung FPB KPK Koprima Tegak Lurus

Paman APiQ telah berbagi cara berhitung cepat FPB KPK. Metode tegak lurus ini terbukti lebih mudah, lebih cepat, dan masuk akal. Pada kesempatan ini kita akan mencoba membuktikan kebenaran teorema tegak lurus koprima dengan beberapa cara. Pertama kita akan mengikuti bagaimana trik menentukan fpb kpk tegak lurus yang mudah ini.

Selanjutnya kita akan membuktikan dengan beberapa cara. Bagi teman-teman yang tidak berminat dengan pembuktian dapat langsung berlatih dengan beberapa contoh soal agar lebih mahir lagi. Sedangkan bagi yang berminat dengan pembuktian silakan berdiskusi dengan ide-ide di bawah ini.

1. Pembuktian dengan contoh

Seperti video yang ditampilkan oleh Paman APiQ di atas bahwa metode tegak lurus terbukti benar dan berhasil dengan baik. Kita juga dapat mengambil contoh yang lebih sederhana misal menentukan FPB KPK 6 dan 8.

6 | 8 | (:2)
3 | 4 | (:1)

FPB = 2 x 1 = 2
KPK = 2 x 3 x 4 = 24

2. Pembuktian dengan Teori Himpunan

Barangkali teori himpunan sangat bagus kita gunakan untuk membuktikan teorema tegak lurus koprima APiQ.

FPB adalah irisan dari dua himpunan
KPK adalah gabungan dari dua himpunan

Hanya saja kita perlu mendefinisikan himpunan dengan lebih hati-hati. Untuk keperluan kita maka kita mendefinisikan

Himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari faktor-faktor prima dari nilai A.
Nilai A adalah bilangan bulat positif atau kita sebut saja sebagai A. Di mana nilai A ini merupakan hasil kali dari faktor-faktornya.

Contoh A = 6 maka himpunan A = {2, 3}.

Untuk memudahkah diskusi bila kita menyebut A dapat saja bermakna himpunan A atau nilai A.

Misal
A = {p, q, r}
B = {p, s, t}

Maka A U B = {p, q, r, s, t} adalah KPK dan A n B = {p} adalah FPB.

Mudah kita lihat nilai A U B = pqrst adalah KPK di mana dapat dibagi oleh A = pqr dan B = pst. Karena merupakan operasi gabungan maka pqrst adalah nilai terkecil yang mungkin. (Terbukti).

Untuk irisan adalah A n B = p adalah FPB di mana p dapat membagi A dan dapat membagi B. Karena merupakan opearasi irisan maka p adalah nilai terbesar yang mungkin. (Terbukti).

Pada kesempatan lain kita dapat menggambarkan himpunan sebagai ilustrasi. Tetapi gambar metode tegak lurus APiQ itu sendiri sudah mirip dengan gambar diagram Venn untuk himpunan.

Barangkali kita perlu membuat definisi-definisi tambahan untuk memperhalus pembuktian di atas misalnya nilai dari himpunan kosong = 1. Penulisan faktor yang berupa bilangan prima dengan pangkat lebih dari 1 juga perlu kita definisikan lebih halus.

3. Pembuktian secara Aljabar

Cara aljabar akan memanfaatkan sifat bilangan koprima itu sendiri.

A dan B koprima maka FPB = 1. (Dari definisi).

KPK = A.B

Bukti:
A.B jelas dapat dibagi oleh A atau pun oleh B. Kita tinggal membuktikan bahwa AB adalah nilai terkecil yang memenuhi.

Misal ada bilangan bulat positif C = n.AB

Untuk n lebih atau sama  dengan 1 maka jelas C habis dibagi A atau pun B. Untuk n < 1 maka n harus membagi salah satu A atau B. Misal n = 1/m yang dapat membagi A. Dapat kita tulis A = m.a

C = (1/m)(m.a)B

C = aB

Jelas B dapat membagi C tetapi A tidak dapat membagi C. Maka C tidak dapat menjadi kelipatan bersama antara A dan B. Jadi bila n < 1 maka tidak ada C yang memenuhi. Dengan demikian terbukti bahwa n.AB terkecil adalah jika n = 1 dan AB adalah KPK. (Terbukti).

Berikut kita akan membuktikan untuk pasangan bilangan P dan Q yang bukan koprima. Kita dapat menghubungkan P dan Q dengan pasangan koprima.

P = f x A
Q = f x B

dengan f bilangan bulat lebih dari 1 dan A, B adalah koprima.

FPB = f.
Bukti: Jelas f membagi P dan Q. Karena A, B koprima maka f adalah bilangan terbesar yang memenuhi. (Terbukti).

KPK = f.A.B
Bukti:
Jelas fAB dapat dibagi P = fA dan Q = fB. Apakah fAB adalah nilai terkecil?

Misal ada bilangan m.fAB yang jelas dapat dibagi P dan Q, untuk m bilangan bulat positif. Karena A dan B koprima maka nilai terkecil adalah m = 1. (Terbukti)

Barangkali berminat dengan analisis tambahan untuk m < 1 yang masih membagi fAB. Misal m = 1/n yang membagi A dapat kita tulis A = n.a sehingga

m.fAB = (1/n)f(na)B = faB

Jelas B dapat membagi faB tetapi A tidak dapat membagi faB. Jadi nilai terkecil yang memenuhi adalah jika m = 1 dan terbukti fAB adalah KPK. (Terbukti).

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
angger | agus Nggermanto | Pendiri APiQ

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s