Berapa Banyak Cara Mewarnai Permukaan Kubus dengan Warna Berbeda Masing-Masing Sisi?

“Ada berapa cara untuk mewarnai suatu kubus?”

Tampaknya sederhana. Tapi tugas ini tidak semudah yang dibayangkan. Pun juga tidak terlalu susah. Barangkali bila ingin coba-coba kita masih dapat melakukannya. Tentu saja cara coba-coba memungkikan kita salah hitung karena kurang teliti. Bagaimana caranya? Paman APiQ akan berbagi cara mudahnya di sini.

Mari kita tulis ulang masalahnya,

“Pada kubus sisi 6 masing-masing permukaan sisi akan diwarnai dengan warna berbeda. Bila disediakan 6 jenis warna berbeda maka ada berapa cara berbeda untuk mewarnai kubus tersebut?”

Tebakan pertama adalah dengan faktorial,

6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 cara.

Terlalu banyak kan 720?

Memang terlalu banyak. Tetapi 720 cara ini menjadi benar bila kubus kita lepas menjadi jaring-jaring kubus. Di mana warna pertama ada 6 pilihan, warna kedua ada 5 pilihan, dan seterusnya.

Ketika kubus sudah kita susun menjadi bangun ruang dimensi 3 maka persoalan menjadi berbeda kan? Misal merah berdampingan dengan hijau akan sama artinya dengan hijau berdampingan dengan merah. Maka 720 adalah terlalu besar untuk yang kita harapkan.

Tebakan kedua kita akan menggunakan rumus permutasi melingkar (circular permutation),

(n – 1)! = (6 – 1)! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 cara.

Tebakan ini lebih tepat. Barangkali kubus dapat kita umpamakan dengan posisi melingkar. Tetapi kita masih punya sedikit masalah. Benar ketika kita akan mewarnai sisi pertama maka tidak ada perbedaan sisi mana pun yang akan kita warnai. Maka jadi (6 – 1)! = 5!

Tetapi bahkan warna kedua pun tidak langsung unik. Ada 4 posisi yang sama yaitu yang berdekatan dengan warna pertama. Sedangkan sisi yang berseberangan memang berbeda. Jadi jawaban 120 cara adalah terlalu besar.

Karena ada 4 posisi yang tidak dapat dibedakan maka kita dapat mencoret 4 posisi ini maka,

120/4 = 30 cara.

Selesai! Kita berhasil menemukan cara mewarnai kubus dengan 30 cara berbeda.

Apakah ada cara lain?

Tentu, Paman APiQ akan berbagi tips lagi untuk Anda.

Permutasi Bertahap

Warna pertama ke sisi mana pun tidak akan memberi perbedaan maka hanya ada 1 cara.

Warna kedua pilih pada sisi berlawanan dari warna pertama maka hanya ada 1 posisi dan kita punya pilihan 5 warna maka ada 5 cara.

Sisanya ada 4 warna melingkar maka ada (4 – 1)! = 3.2.1 = 6 cara.

Jadi total ada 1.5.6 = 30 cara.

Atau warna ke-3 bebas memilih 4 posisi tapi tidak memberi beda maka ada 1 cara.

Warna ke-4 ada pilihan 3 posisi maka ada 3 cara.

Warna ke-5 ada pilihan 2 posisi maka ada 2 cara.

Warna ke-6 ada pilihan 1 posisi maka ada 1 cara.

Maka total ada 1.5.1.3.2.1 = 30 cara.

Membagi 2 Kasus

Warna pertama ada 6 posisi tapi tidak ada perbedaan maka hanya ada 1 cara.

Warna kedua untuk kasus A adalah mewarnai bagi sisi berlawanan maka ada 1 cara.

Warna ketiga sampai keenam membentuk lingkaran dengan 4 sisi maka banyaknya cara adalah (4-1)! = 3.2.1 = 6 cara.

Warna kedua untuk kasus B adalah mewarnai bagian sisi berdekatan dari warna pertama maka ada 1 cara.

Warna ketiga sampai keenam mempunyai 4 posisi unik maka ada 4! = 4.3.2.1 = 24 cara.

Maka total kasus A + kasus B = 6 + 24 = 30 cara.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…

angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s