Paradoks Kedua Zeno: Dikotomi Setengah Jarak

Paradoks kedua dari Zeno ini lebih menantang. Anda akan ditantang Zeno menyelesaikan masalah sederhana tapi rumit hanya berbekal ruang, tanpa waktu. Kali ini, waktu tidak dapat membantu Anda.

Paman APIQ merumuskan kembali paradoks kedua Zeno, yang dikenal sebagai paradoks dikotomi, sebagai berikut.

Seorang kekasih akan mendekati kekasihnya yg terpisah jarak 8 m. Dengan aturan dia hanya boleh maju setengah jarak yg tersisa, berulang-ulang. Apakah dia akan berhasil menyentuh sang kekasih?

Bagaimana menurut Anda?

Pandangan intuitif sekilas sepertinya mengatakan bahwa dia tidak akan berhasil menyentuh sang kekasih kan? Karena selalu tersisa setengah jarak. Tetapi bila kita melakukan eksperimen tampak jelas bahwa dia pasti berhasil menyentuh sang kekasih.

Silakan Anda melalakukan eksperimen. Misalnya berdirilah 8 meter dari dinding. Kemudian majulah mendekat 4 meter. Maju lagi 2 meter, 1 meter, ½ meter, ¼ meter, dan seterusnya. Tidak butuh waktu lama, akhirnya Anda berhasil menyentuh dinding.

Apakah benar kita berhasil menyentuh dinding?

Atau karena kita terlalu buru-buru saja?

Bukankah masih tersisa setengah jarak terakhir?

Di tengah-tengah keraguan ini, Zeno menegaskan,” Anda tidak akan pernah berhasil menyentuh dinding!” Seberapa dekat anda ke dinding maka tetap masih tersisa setengah jarak. Barangkali Zeno benar. Sebenarnya kita memang tidak akan pernah menyentuh dinding dengan aturan seperti itu. Tetapi implikasinya sangat berat bila Zeno benar. Mengapa?

Bukan hanya kita tidak berhasil menyentuh dinding pada jarak 8 meter, kita bahkan tidak bisa melangkah 4 meter pertama. Karena untuk melangkah 4 meter, kita harus melangkah 2 meter. Untuk melangkah 2 meter kita harus melangkah 1 meter dan begitu seterusnya sampai tak hingga. Jadi, bila Zeno benar, bahkan kita tidak dapat melangkah sedikit pun. Karena untuk melangkah, kita harus melangkah jarak setengahnya dulu sampai tak hingga. Di sinilah paradoks Zeno yang kedua tentang dikotomi.

Jadi menurut Zeno, “Dia tidak akan berhasil menyentuh sang kekasih yang berjarak 8 meter itu.”

Bagaimana menangani paradoks ini?

Solusi Dengan Eksperimen yang Tepat

Contoh eksperimen sang kekasih yang terpisah pada jarak 8 meter tidak memberikan solusi yang memuaskan. Contoh ini justru menimbulkan paradoks seperti harapan Zeno. Paman APIQ memiliki contoh eksperimen yang memberi solusi lebih meyakinkan yaitu eksperimen menjatuhkan bola yang kemudian memantul.

Perhatikan sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian S dan selalu memantul r dari tinggi semula sampai akhirnya bola berhenti di atas lantai.

Analisa:

Tinggi puncak setelah memantul = P1 = Sr
Tinggi puncak semula = P0 = S

Gerak turun bola adalah selisih tinggi semula dengan puncak setelah memantul =

P0 – P1 = S – Sr = a

Maka

S(1 – r) = a

S = a/(1 – r)

[Terbukti]

Dengan contoh angka barangkali lebih memudahkan kita. Misal kita akan menjatuhkan bola dari ketinggian 8 meter (Po = 8) di atas lantai. Bola ini selalu memantul ½ dari tinggi semula (r = ½). Maka tinggi puncak setelah pantulan pertama adalah 4 meter (P1 = 4). Maka gerak maju puncak bola adalah

a = Po – P1 = 8 – 4 = 4.

Sedangkan tinggi puncak setelah pantulan kedua 2 meter (P2 =2). Maka gerak maju puncak bola berikutnya adalah

ar = P2 – P1 = 4 – 2 = 2.

Dengan analisis yang sama maka gerak maju puncak bola dapat kita tuliskan,

4 + 2 + 1 + ½ + … …… = S

Berapakah nilai S ini?

Tentu kita tahu nilai S adalah tinggi bola semula yakni 8 meter. Karena bola memang dijatuhkan dari tinggi 8 meter dan akhirnya menempel di lantai. Kita juga dapat menghitung dari persamaan yang kita buktikan sebelumnya.

S          = a/(1 – r)

= 4/( 1 – ½)

            = 8

Sehingga kita dapat menyatakan kepada Zeno bahwa,”Dia berhasil menyentuh kekasihnya yang terpisah pada jarak 8 meter itu.”

Zeno tentu saja bingung. Ternyata memang dia berhasil menyentuh kekasihnya. Bukankah masih tersisa setengah jarak terakhir? Tapi mengapa bola itu akhirnya menempel di lantai?

Sementara biarkan Zeno bingung. Kita amati lebih jauh apa yang kita peroleh sejauh ini. Bola memantul dengan syarat r,

0 < r < 1

Nilai r tidak mungkin negatif karena tidak mungkin bola menembus lantai berkali-kali. Begitu pula nilai r tidak mungkin 1 atau lebih dari 1 karena akan melanggar hukum dasar fisika tentang kekekalan energi.

Jadi kita telah berhasil membuktikan jumlah deret tak hingga

S = a/(1 – r)

Bahkan tanpa meminjam teori limit. Sebaliknya dengan pembuktian ini kita berhasil membuktikan keabsahan teori limit. Jadi teori limit rn = 0 jika n menuju tak hingga dapat kita buktikan dengan eksperimen ini.

Perhatikan rumus umum jumlah deret geometri.

S = a(1 – rn)/(1 – r)

 

Bandingkan dengan rumus eksperimen kita.

S = a/(1 – r) = a(1 – rn)/(1 – r)

 

Maka

1 = 1 – rn

rn = 0   (Terbukti).

Eksperimen kita berlaku untuk 0 < r < 1. Bagaimana jika r bernilai negatif lebih dari -1?

Dengan sedikit pemahaman kesimpulan kita berlaku juga untuk -1 < r < 0. Pertimbangkan jika r negatif maka rnakan berayun antara nilai positif dan negatif. Ketika n genap maka positif. Sedangkan bila n ganjil maka bernilai negatif. Tetapi karena pada akhirnya menuju 0 maka positif 0 sama saja dengan negatif 0 dan sama dengan 0 itu sendiri. Jadi, rumus kita berlaku untuk |r| < 1.

Dari titik inilah Zeno menemukan titik terang paradoks lagi,” rn itu tidak benar-benar 0. Dia bernilai kecil tapi tidak 0.”

Apa maksud Zeno?

Ketika kita menyatakan bahwa bola yang jatuh di lantai kemudian memantul pada akhirnya akan berhenti di lantai, Zeno menolaknya. Bola itu tidak berhenti. Tetapi bola itu terus memantul hanya saja ketinggiannya kecil sekali. Sehingga pantulan itu tidak teramati oleh mata kita. Jadi, menurut Zeno, bola itu terus-menerus memantul-mantul tanpa henti.

Teori limit tidak akan mampu mengatasi keberatan Zeno ini. Teori limit dengan baik memanfaatkan teori epsilon delta. Tetapi Zeno justru menyerang jantung teori limit ini. Kita harus membahas keberatan Zeno ini dengan sudut pandang yang berbeda. Paman APIQ telah menyiapkan itu. Bersiaplah…!

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s