(5) Paradoks Zeno Melahirkan Penemuan Matematika Limit

c. Solusi Paradoks Zeno dengan Deret dan Limit.

Zeno telah meresahkan para ahli matematika sejak lebih dari dua ribu tahun yang lain. Bara pada abad ke-19 ahli matematika dunia bernama Cauchi dapat menyelesaikan paradoks Zeno dengan sangat memuaskan. Cauchi menemukan solusi dengan limit deret tak hingga.

Penemuan deret tak hingga ini merupakan prestasi besar di bidang matematika. Bagaimana pun Zeno mendapat tempat terhormat karena telah mendorong berkembangnya teori limit deret tak hingga. Para ahli matematika mengkonfirmasi bahwa deret tak hingga ini benar-benar telah menyelesaikan paradoks dan memiliki penerapan luas di jaman sekarang – teknologi maju. Tetapi Zeno sendiri mengatakan,”Deret tak hingga tidak menyelesaikan paradoks,”

“Bagaimana bisa begitu?”

Paman APIQ mengajak kita berpetualang bersama Zeno yang penuh kontroversi. Berikut rumusan kembali dari paradoks Zeno oleh Paman APIQ.

“Sebuah robot kelinci yang kecepatannya 10 meter/detik balapan dengan robot siput yang kecepatannya 1 meter/detik. Tetapi robot siput memulai balapan dengan posisi 10 meter di depan robot kelinci. Siapakah yang bakal menang?”

“Robot kelinci yang bakal menang!” jawab Geo dengan cepat.

Begitu pula jawaban banyak orang, robot kelinci bakal menang pada akhirnya. Di mana paradoksnya? Ini dia, Zeno menjelaskan paradoks ribuan tahun.

“Ketika kelinci bergerak 10 meter maka siput telah maju 1 meter. Kelinci menyusul 1 meter ke depan tetapi pada saat yang sama siput telah maju 0,1 meter. Begitu seterusnya dan akhirnya siput tetap sedikit di depan kelinci. Jadi yang menang adalah siput.”

Aslinya Zeno tidak menggunakan istilah kelinci lawan siput tetapi Achilles (jago lari Yunani) lawan kura-kura. Tetapi Paman APIQ menggantinya dengan robot kelinci lawan robot siput.

Ahli matematika kita, Cauchi, dengan cerdik langsung menghitung masalah yang diajukan Zeno. Berapa jauh sebenarnya yang ditempuh oleh siput bila dilanjutkan sampai tak hingga langkah seperti penjelasan Zeno?

Dihitung dari titik kelinci mulai jalan maka jarak yang ditempuh oleh siput adalah,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + … … … = S

Pada jaman Zeno, deret seperti di atas tidak bisa dihitung. Tetapi jaman sekarang kita dapat memanfaatkan aljabar dan notasi angka yang mudah.

Kalikan kedua ruas dengan 0,1 maka

0,1(10 + 1 + 0,1 + 0,01 + …. … .. ) = 0,1(S)

 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + … … … = 0,1(S)

 Kurangkan persamaan terakhir ke persamaan awal kita peroleh,

10                                =     S – 0,1(S) = 0,9 S

 Atau

S = 10/0,9 = 100/9 meter

Jadi, jarak yang ditempuh siput ternyata tidak jauh-jauh amat. Hanya 100/9 meter = 11,111 meter. Tidak lebih dari 12 meter. Tentu saja kita menduga bahwa kelinci tidak akan kesulitan menempuh jarah seperti itu! Memang benar demikian.

Berapakah jarak yang ditempuh kelinci sesuai cerita Zeno?

K = 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + … … …

Sekilas kita lihat jarak tempuh kelinci mirip dengan jarak tempuh siput pada akhirnya. Dengan cara yang sama kita dapat menghitung jarak kelinci adalah,

K = 100/9

Karena jarak kelinci pada akhirnya sama dengan jarak yang ditempuh oleh siput maka kelinci berhasil menyusul siput.

S = K = 100/9 = 11,111

 Setelah kelinci berhasil menyusul maka kelinci akan meninggalkan siput di belakang dan kelinci memenangkan lomba balap itu.

Zeno keberatan, ”Tapi apakah kelinci memiliki waktu yang dibutuhkan untuk menyusul?” Zeno membayangkan bahwa kelinci akan membutuhkan waktu tak hingga.

Kita dengan mudah dapat menunjukkan bahwa waktu yang dibutuhkan juga cuma sebentar.

w         = jarak / kecepatan

            = (100/9)/10

            = 10/9 = 1,111 detik.

Tidak lebih dari 2 detik kelinci sudah menyusul siput. Bahkan lama waktu yang dibutuhkan juga dapat kita hitung dengan deret. 10 meter butuh 1 detik. 1 meter butuh 0,1 detik, dan seterusnya.

w = 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + … … …

 Kalikan kedua ruas dengan 0,1 maka kita peroleh,

0,1 w = 0,1 + 0,01 + 0,001 + … … …

Kurangkan yang terakhir dengan yang awal,

w – 0,1w = 1

 0,9 w = 1

 w = 1/0,9 = 10/9 = 1,111…

 Hasilnya konsisten, hanya butuh waktu 1,111 detik kelinci akan menyusul siput. Zeno berpikir sejenak. Penjelesan deret di atas tampaknya benar dan konsisten. Zeno masih mencari-cari lubang kesalahan dari penjelasan di atas. Dan Zeno memang menemukan lubang kelemahan deret di atas.

Cara lebih sederhana menjelaskan keberatan Zeno adalah dengan memakai pecahan desimal berulang. Dalam kasus kita, Zeno mengarahkan agar kita percaya bahwa,

10 + 1 + 0,1 + 0,01, + 0,001 + … … … = 11,111….

 adalah bilangan tak hingga. Dengan mudah kitadapat menghitungnya.

Misal,

11,111… = x

Kalikan kedua ruas dengan 10,

111,111… = 10x

Kurangi yang akhir dengan yang pertama,

10x – x = 111,111… – 11,111 …

 9x        = 100

 x          = 100/9 (Sebuah bilangan pecahan biasa).

Dengan mudah kita dapat menyelesaikan masalah Zeno. Pada jamannya, Zeno dan ahli matematika lain tidak dapat melakukan perhitungan seperti di atas. Karena saat ini belum ditemukan teori aljabar dan notasi pecahan desimal. Jadi wajar saja, paradoks Zeno tak terselesaikan waktu.

Tetapi penemuan paling besar untuk menyelesaikan paradoks Zeno adalah teori limit tak hingga untuk deret geometri. Penemuan limit tak hingga ini menjadi dasar pengembangan ilmu dan teknologi ratusan tahun kemudian sampai sekarang. Inilah kehebatan matematika.

Paman APIQ mengajak kita memperhatikan deret geometri,

a + ar + ar2 + ar3 + … … … + arn-1= S

 Kita hendak menghitung S yang merupakan jumlah deret geometri dengan n suku. Cara yang kita gunakan mirip dengan cara sebelumnya. Kalikan kedua ruas dengan r.

 ar + ar2 + ar3 + … … … + arn-1 + arn   = Sr

 Kurangkan yang awal dengan yang akhir,

a – arn              = S –Sr

 a(1 – rn)           = S(1 – r)

 S          = a(1 – rn)/(1 – r)

 Untuk r positif dan kurang dari 1 maka rn akan semakin mengecil dengan bertambah besarnya nilai n. Untuk contoh kita, r = 0,1 maka rn dengan cepat mengecil menuju 0. Teori limit memastikan bahwa bila n menuju tak hingga maka rn menuju sama dengan 0. Dengan demikian rumus terakhir menjadi,

S          = a(1 – 0)/(1 – r)         = a/(1 – r)

Bila kita terapkan untuk paradoks Zeno kita,

S          = 10/(1 – 0,1)              = 10/0,9          = 100/9           (Selesai).

Jadi, paradoks Zeno telah terselesaikan. Matematika menjadi makin berkembang. Para ahli matematika dan masyarakat bergembira. Tetapi Zeno berbisik, “Saya tahu ada kesalahan pada penjelasan di atas.”

Paman APIQ menangani bisikan Zeno ini pada bagian berikutnya.

3 responses to “(5) Paradoks Zeno Melahirkan Penemuan Matematika Limit

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s