(4) Paradox Zeno Terselesaikan dengan Himpunan

b. Solusi Paradoks Zeno dengan Teori Himpunan

Kekuatan teori himpunan dalam matematika sudah tidak diragukan lagi. Lebih dari itu, teori himpunan juga dapat membantu kita memecahkan masalah sehari-hari. Kali ini Paman APIQ akan mengajak kita menyelesaikan masalah paradoks Zeno dengan meminjam teori himpunan.

Paman APIQ memberi sedikit contoh tentang himpunan semesta bilangan bulat

S = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}

Daftarlah anggota himpunan S yang merupakan bilangan negatif! Misalkan sebagai A.

A = {-3, -2, -1}

Daftarlah anggota himpunan S yang merupakan bilangan positif! Misalkan sebagai B.

B = {1, 2, 3, 4}

Daftarlah anggota himpunan S yang merupakan bilangan ganjil! Misalkan sebagai C.

C = {-3, -1, 1, 3}

Contoh Paman APIQ di atas adalah contoh-contoh sederhana. Kita juga dapat membuat contoh yang agak komplek.

Daftarlah anggota himpunan bilangan S yang genap dan positif!

D = {2, 4}

Contoh di atas lebih kompleks tapi masih mudah kita cerna. Bandingkan dengan tantangan berikut.

Daftarlah anggota himpunan S yang negatif dan positif!

E = {}

Itulah jawaban tepat dari teori himpunan. Kita tahu tidak ada bilangan yang negatif dan sekaligus positif. Teori himpunan menjawab dengan pasti yaitu himpunan kosong yang sering dilambangkan dengan {}.

Daftarlah bilangan positif dan kurang dari 3!

F = {1, 2}

Daftarlah bilangan positif dan kurang dari 0!

G = {}

Kita tahu tidak ada bilangan positif yang kurang dari 0. Semua bilangan yang kurang dari 0 pasti negatif. Sehingga jawabannya adalah himpunan kosong. Jadi kita akan terbiasa dengan jawaban himpunan kosong dalam konsep himpunan.

Seandainya seseorang mengatakan bahwa ia menemukan bilangan positif yang kurang dari 0 maka kita akan menganggapnya tidak mungkin. Karena terjadi kontradiksi antara bilangan positif dan bilangan yang kurang dari 0. Setidaknya, bila orang tersebut dapat menjelaskan dengan cukup jelas bahwa ada bilangan positif yang kurang dari 0 maka kita akan menganggapnya sebagai paradoks.

Dari sinilah kita akan menganalisis paradoks Zeno. Pertama kita akan mengamati paradoks Zeni. Lalu kita akan menemukan kontradiksi dengan menunjukkan himpunan kosong. Terakhir kita akan merumuskan solusi yang tepat dari paradoks Zeno ini.

Paman APIQ merumuskan ulang paradosk Zeno sebagai berikut.

 “Sebuah robot kelinci yang kecepatannya 10 meter/detik balapan dengan robot siput yang kecepatannya 1 meter/detik. Tetapi robot siput memulai balapan dengan posisi 10 meter di depan robot kelinci. Siapakah yang bakal menang?”

“Robot kelinci yang bakal menang!” jawab Geo dengan cepat.

Begitu pula jawaban banyak orang, robot kelinci bakal menang pada akhirnya. Di mana paradoksnya? Ini dia, Zeno menjelaskan paradoks ribuan tahun.

“Ketika kelinci bergerak 10 meter maka siput telah maju 1 meter. Kelinci menyusul 1 meter ke depan tetapi pada saat yang sama siput telah maju 0,1 meter. Begitu seterusnya dan akhirnya siput tetap sedikit di depan kelinci. Jadi yang menang adalah siput.”

Mari kita bagi kondisi balapan ini menjadi 3 himpunan berdasar waktu.

A = { kondisi balapan dari waktu t = 0 sampai t kurang 10/9 detik }

B = { kondisi balapan ketika tepat waktu t = 10/9 detik }

C = { kondisi balapan ketika waktu lebih dari 10/9 detik }

Dengan hitungan aljabar sederhana kita dapat menentukan selisih jarak yang ditempuh siput dan kelinci.

jarak siput – jarak kelinci        = s       = (10 + 1.t) – (10t)

s        = 10 – 9t

Perhatikan bahwa masing-masing kondisi akan menunjukan situasi yang berbeda.

A  = { 0 < t < 10/9 maka s > 0 maka siput menang }

B  = { t = 10/9 maka s = 0 maka siput tepat sama dengan kelinci }

C  = { t > 10/9 maka s < 0 maka siput kalah }

Jadi kita memiliki tiga himpunan A, B, dan C yang saling berbeda. Dari sini kita bisa paham penjelasan dari Zeno bahwa siput memenangkan pertandingan. Dan penjelasan Zeno ini benar tanpa ada salah sama sekali. Selesai sudah tanpa ada paradoks.

Bahwa Zeno mengatakan setiap kelinci mendekati siput maka siput telah melangkah sedikit ke depan, itu selalu benar pada situasi himpunan A. Sedangkan intuisi kita mengatakan bahwa kelinci pada akhirnya akan menang. Intuisi umum kita sah pada kondisi himpunan C. Karena dua kondisi di atas – kondisi himpunan A dan himpunan C – sama-sama sah tetapi keduanya bertentangan maka terjadilah paradoks Zeno ini.

Seandainya kondisi A tidak sah maka kita dengan mudah mengatakan bahwa Zeno salah dan yang benar adalah intuisi sekilas, kondisi C.

Pertanyaan selanjutnya, adakah himpunan A yang sekaligus himpunan C?

Atau apakah irisan himpunan A dan himpunan C?

Atau apakah mungkin siput menang dan sekaligus siput tidak menang?

Jawabannya adalah himpunan kosong = {}.

Jadi jelas, bahwa penyebab paradoks Zeno adalah menganggap ada “suatu kejadian” pada himpunan kosong. Sedangkan yang benar, pada himpunan kosong adalah benar-benar kosong.

Mari Paman APIQ ringkaskan lagi paradoks Zeno. Zeno benar mengatakan siput menang dengan catatan pada kondisi himpunan A. Segala penjelasan Zeno juga benar. Intuisi umum benar mengatakan bahwa kelinci menang pada kondisi himpunan C. Tetapi himpunan A dan C saling lepas tidak beririsan.

Sekarang kita dengan mudah mengatakan adanya kontradiksi bila mengatakan ada anggota A dan sekaligus anggota C. Dengan mengabaikan himpunan B maka negasi A adalah C dan negasi C adalah A.

Kesimpulan yang salah adalah mengatakan bahwa Zeno salah karena mengatakan siput menang. Karena siput memang pernah menang. Sama juga merupakan kesimpulan salah bila mengatakan intuisi salah karena mengatakan kelinci menang. Karena kelinci memang pernah menang.

Jadi, solusi akhir untuk paradoks Zeno adalah siput menang pada kondisi A dan selanjutnya kelinci menang pada kondisi berbeda yaitu kondisi C.

Bagaimana dengan kondisi himpunan B?

Pertanyaan ini menarik dan lebih seru bila kita bahas dengan pendekatan deret dan limit tak hingga. Lagi pula Zeno masih penasaran, “Bagaimana caranya kelinci bisa menyalip siput? Menyusul saja sulit!”

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s