Generator Triples Pythagoras: Uji Primitivitas

Lengkap sudah langkah Paman APIQ menyempurnakan generator triple pythagoras.

Generator umum berbentuk,

(a^2)/n =2b + n

Dengan n bilangan asli maka generator ini menghasilkan semua segitiga pythagoras yang mungkin dengan a, b, dan c bilangan bulat positif.

Beberapa waktu lalu, Paman APIQ menyisakan uji primitivitas. Kapan generator ini menghasilkan segitiga primitif dan kapan non primitif.

Dengan teori bilangan Paman APIQ sudah membuktikan bahwa untuk,

n prima ==> non primitif.

Bahkan jika n super prima juga tetap non primitif.

Pertanyaan muncul bagaimana jika n adalah komposit?

Hanya akan menghasilkan segitiga primitif jika,

n = 2k^2

k : bilangan asli.

Sedangkan bilangan komposit dalam bentuk lain hanya akan menghasilkan non primitif. Pembuktian ini dapat kita lakukan dengan memanfaatkan teori bilangan.

Tetapi justru yang lebih sederhana adalah meminjam formula Euclid yang sudah teruji ribuan tahun. Hanya saja formula ini kurang intuitif.

Cara paling intuitif adalah memanfaatkan n = 1 kemudian kita menukar nilai a dengan b. Seperti kita tahu untuk n = 1, generator menghasilkan 100% primitif.Jika kita tukar a dengan b maka kita menghasilkan segitiga primitif dengan n yang berbeda.

(3, 4, 5) ==> (4, 3, 5) ==> n = 2
(5, 12, 13) ==> (12, 5, 13) ==> n = 8
(7, 24, 25) ==> (24, 7, 25) ==> n = 18
(9, 40, 41) ==> (40, 9, 41) ==> n = 32
(11, 60, 61) ==> (60, 11, 61) ==> n = 50

Kita dapat melanjutkan barisan di atas sampai tak terbatas.

Meski n = 2k^2 maka generator akan menghasilkan bergantian segitiga primitif dan non primitif.

k = 1; m = 2, 3, 4, …

a = 2km = 2m
b = m^2 – 1
c = m^2 + 1

primitif bila m genap.

k = 2; m = 3, 4, 5, …

a = 4m
b = m^2 – 4
c = m^2 + 4
primitif bila m ganjil.

Dan seterusnya… kita dapat menghasilkan semua segitiga primitif pun non primitif.

Keunggulan generator Paman APIQ ini adalah bersifat intuitif. Sehingga mudah diajarkan kepada siswa. Bahkan cara mengajarkannya pun dapat sangat menyenangkan.

Anda dapat membaca langsung tulisan Paman APIQ sebelumnya tentang generator pythagoras:

Generator Pythagoras APIQ.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ

One response to “Generator Triples Pythagoras: Uji Primitivitas

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s