Generator Pythagoras Paling Efektif: Pythagorean Triples Generator APIQ

Paman APIQ telah menuliskan generator Pythagoras pada tulisan sebelumnya.

Kali ini Paman APIQ mencatat uji primitivitas. Terjadi segitiga primitif jika,

n = 2k^2

di mana k = 1, 2, 3 ….

Sedangkan jika n = 1, semua segitiga yang terbentuk adalah primitif.

Lebih lengkap silakan baca tulisan Paman APIQ sebelumnya sebagai berikut.

Rumusan Paman APIQ tentang generator segitiga semakin matang. Meski tentu saja proses ini perlu terus berlanjut agar semakin kuat. Rumus atau formula sebagai generator segitiga pythagoras sudah semakin teruji. Sedangkan untuk uji primitivitas masih menyisakan tantangan yang menarik.

Formula umum generator segitiga,

\frac{a^2}{n} = 2b + n

n = 1, 2, 3, 4 …

a < c dan b < c

yang merupakan bilangan bulat dari sisi-sisi segitiga.

c = b + n

1. Sederhana untuk pendidikan

Dibanding formula lain, formula Paman APIQ ini adalah yang paling sederhana dan mudah. Mungkin kita lebih akrab dengan formula Euclid dalam bentuk selisih kuadrat dan jumlah kuadrat. Bahkan di abad 20 ahli matematika juga mulai merumuskan matrik 3 x 3 untuk menghasilkan segitiga. Pendekatan-pendekatan itu makin memperkaya khasanah matematika kita.

Untuk keperluan pendidikan, formula Paman APIQ sangat aplikatif.

Para siswa hanya perlu dikenalkan segitia n=1 dan n=2 dengan a sekitar 20an. Menariknya, dengan menggunakan generator formula APIQ, para siswa menjadi cepat hafal dengan segitiga. Meski pun seandainya mereka lupa maka dengan mudah mereka dapat menghitung kembali.

Pengayaan untuk beberapa siswa yang gemar matematika dapat ditambahkan n=8 dengan a = 20 atau a = 28.

Bagi guru, formula ini menjamin mereka tidak terjebak pada bilangan irasional yang tidak diinginkan. Jadi para guru dapat secara leluasa mengembangkan beragam soal. Tentu saja guru dapat bermain dengan variasi faktor pengali terhadap segitiga primitif.

2. Formula Generator Segitiga Umum

Apakah semua segitiga pythagoras dapat dihasilkan oleh formula Paman APIQ di atas?

Tidak mudah menjawab pertanyaan ini. Tetapi pandangan intuitif memberi jawaban positif terhadap pertanyaan ini. Jadi kita dapat mengatakan bahwa formula Paman APIQ dapat menghasilkan semua segitiga – primitif atau tidak.

Misal,

c = b + n

dengan n = 1, 2, 3, …

Karena n mencakup seluruh anggota himpunan tak berhingga dari bilangan asli maka formula Paman APIQ juga mencakup seluruh segitiga yang mungkin dari segitiga pythagoras.

Sayangnya formula Paman APIQ ini tidak secara sederhana mengekspresikan b dalam term a. Mari kita coba!

\frac{a^2}{n} = 2b + n

b = 1/2 [(a^2)/n – n]

Untuk n kecil menjadi sederhana. Untuk n besar kita dapat memanfaatkan komputer demi kemudahan.

3. Uji Primitivitas

Ini menjadi salah satu tujuan utama dari Paman APIQ. Kita dapat menguji beberapa n. Misal n=1 sampai dengan n=9 dapat kita uji satu demi satu. Tetapi cara ini tidak mencukupi karena kita memiliki n sebanyak tak hingga.

Maka dari itu kita perlu menyusun uji primitivitas yang berlaku umum. Dugaan Paman APIQ adalah dengan memperhatikan n sebagai bilangan prima atau komposit. Semua n yang berupa bilangan prima akan berperilaku sama kecuali n=2.

Mengapa n=2 dikecualikan?

Karena bilangan 2 itu muncul dalam formula Paman APIQ.

Untuk n=2 formula menghasilkan segitiga primitif dan non primitif secara bergantian.

Sedangkan untuk n berupa bilangan prima lain maka formula tidak menghasilkan segitiga primitif. Semua segitiga non primitif.

Misal n = p ; yang merupakan bilangan prima bukan 2.

(a^2)/p = 2b + p

a harus p.q

Jika tidak maka b menjadi tidak bulat demikian juga c.

(p.q)^2/p = 2b + p

p.(q^2) = 2b + p

==> 2b adalah kelipatan p
==> b adalah kelipatan p

Demikian juga c,

c = b + p adalah kelipatan p

Karena itu segitiga yang terbentuk adalah non primitif.

Pertanyaan yang lebih menarik adalah bagaimana jika n bukan prima.

n = k yang merupakan bilangan komposit.

Kapan k akan menghasilkan primitif, non primitif, atau campuran antara keduanya?

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ

One response to “Generator Pythagoras Paling Efektif: Pythagorean Triples Generator APIQ

  1. Ping-balik: Generator Triples Pythagoras: Uji Primitivitas | APIQ: Anak Lebih KREATIF & Berprestasi·

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s