(Bag.5) Integral Parsial Memang Hebat: Satu Kali Integrasi

Al, Geo, Meti menunggu-nunggu kedatangan Paman APIQ. Mereka mengharapkan akan mendapatkan lagi berbagai macam kehebatan integral parsial dari Paman APIQ.

Paman APIQ sendiri dengan sengaja memperkenalkan konsep integral parsial kepada anak-anak, seperti Al, Geo, Meti, secara bertahap. Sehingga anak-anak merasa penasaran.

Sebagaimana kita pelajari, terdapat beberapa langkah untuk menyelesaikan masalah integral. Paman APIQ menyarankan langkah-langkah berikut untuk menyelesaikan integral.

1. Pertimbangkan menggunakan integral biasa – integral sebagai kenaikan pangkat.

\int x^n dx = \frac {1}{n+1} x^{n+1}

Tentu kecuali n = -1 maka akan menghasilkan ln x.

2. Pertimbangkan menggunakan integral substitusi. Ubah bentuk integran menjadi integral kenaikan pangkat seperti di atas.

\int u^n du = \frac {1}{n+1} u^{n+1}

Dalam beberapa kasus kita perlu menggunakan substitusi trigonometri. Tabel integral baku sangat membantu. Purcell merekomendasikan 17 bentuk integral baku. Namun di bagian lampiran buku Kalkulusnya, Purcell mendaftar lebih dari 100 bentuk integral baku.

3. Pertimbangkan integral parsial. Setelah integral substitusi menyerah… giliran integral parsial yang turun tangan. Integral parsial juga dikenal sebagai integral substitusi ganda.

Masih kita ingat, bentuk umum integral parsial adalah:

\int u.dv = u.v - \int v.du

Namun perlu diingat, tidak berarti integral parsial dapat menangani integral yang lebih luas dari integral substitusi. Masing-masing memiliki keunggulannya sendiri. Memang benar integral parsial lebih kompleks dari integral substitusi.

“Itu dia…Paman APIQ,” seru Al.
“Paman APIQ, kami sudah menunggu Paman dari tadi,” kata Meti.
“Bagus kalau begitu. Kalian telah berlatih menjadi orang yang sabar. Orang sabar disayang Tuhan lho…” sahut Paman APIQ.
“Setuju! Itu sebabnya saya selalu disayang Tuhan, ” komentar Geo.

Kemudian mereka berdiskusi tentang integral parsial khusus dengan 1 kali integrasi (pengintegralan).

Beberapa guru tidak mengenali tipe-tipe integral parsial ini. Kesalahan ini dapat mengakibatkan banyak kesulitan bagi siswa. Pada tahap awal, seperti saran Paman APIQ, guru harus memperkenalkan integral parsial tingkat 1 ini.

Apa maksud integral tingkat 1 (dengan 1 kali integrasi)?

Yaitu, dalam bentuk umumnya,

\int v.du dapat langsung dipecahkan. Bila integral vdu ini harus diselesaikan dengan integral parsial lagi maka ia termasuk integral parsial tingkat 2 atau lebih.

Jadi mari kita fasilitasi putra-putri kita dengan integral parsial tingkat 1 ini.

\int 4x.cosx dx = ... ... ...

“Biar aku mencobanya dulu,” kata Al.

\int 4x.cosx dx = 4x.sinx - \int sinx. 4dx

= 4x.sinx + 4.cosx (Selesai)

“Bagus…,” sahut Paman APIQ,” berikutnya…”

\int x.e^x dx = .... .... ...

“Giliranku dong…” Geo langsung semangat.

\int x.e^x dx = x.e^x - \int e^x dx

= x.e^x - e^x (Selesai.)

“Sip, ” sahut Paman APIQ, ” tinggal kamu Meti.”
“Siap….!” jawab Meti.

\int x.e^{2x} dx = ... .... ....

\int x.e^{2x} dx = x.\frac{1}{2}.e^{2x} - \int \frac{1}{2} e^{2x} dx

= x.\frac{1}{2}.e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} (Selesai).

“Mantap…!”

“Asyik juga ternyata belajar belajar integral parsial ya.”

“Tantangan lagi…”

\int x.sin^2x.cosx dx = ... ... ...

“Mengerikan…!”
“Jangan khawatir!”
“Pasti bisa!”

Pilih
u = x; du = dx

dv = sin^2x.cosx dx; v = \int sin^2x.cosx dx

v = \int sin^2x d(sinx)
v = \frac{1}{3} sin^3x

Jadi,

\int x.sin^2x.cosx dx = ... ... ...

= x.\frac{1}{3} sin^3x - \int \frac{1}{3} sin^3x dx

“Selesai.”
“Lho kok selesai? Kan masih ada integral sin pangkat 3?”
“Kalian kan sudah bisa menyelesaikan integral sin pangkat 3?!”
“Pakai integral substitusi kan?”
“Betul.”

Mereka masih melanjutkan diskusi integral parsial tingkat 1 sambil bermain-main.

“Bagaimana dengan

\int x^2. e^x dx = .... .... ....? ” Al bertanya.

“Yang itu masuk integral tingkat 2. Tunggu tanggal mainnya….” sahut Paman APIQ.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

10 responses to “(Bag.5) Integral Parsial Memang Hebat: Satu Kali Integrasi

  1. Jika nemu bentuk integral (X pangkat n atau X^n) kali (U) kali (diferensial U atau dU), cara penyelesaiannya seperti apa?

  2. aku masih rada bingung integral sin^2x.cosxdx kok v-nya bisa jadi sin^2xd(sinx),,itu maksudnya x-nya dimisalkan turunan dari cos x ya?

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s