Arsip Tag: matematika

Training APIQ 30 Oktober 2010: Inovasi Berlanjut

Puji syukur Training APIQ Quantum Angkatan 20 kemarin sukses luar biasa. Training APIQ Angkatan 21 akan kami selenggarakan,

Hari: Sabtu
Tanggal: 30 Oktober 2010
Waktu: 08.30 s.d 20.30 wib
Tempat: Jakarta (Jabodetabek)

Investasi: FREE bagi Anda yang sudah mengikuti training APIQ sebelumnya.Rp 750 ribu bagi peserta baru dan FREE mengikuti training APIQ berikutnya. (Excluded lunch).

Berbagai macam inovasi terbaru matematika kreatif telah kami siapkan untuk Training APIQ Angkatan 21.

1. Permainan Romi (roda milenium) yang telah memukau pada angkatan 20 akan lebih kami sempurnakan di angkatan 21. Permainan sederhana yang seru dan melatih operasi perkalian, penjumlahan, dan pengurangan ini akan bertambah hebat. Paman APIQ sendiri berpikir mungkinkah mengembangkan Romi untuk aljabar atau geometri?

2. Aritmetika berhitung cepat pecahan desimal. Perkalian, kuadrat, akar, kubik dan lain-lain untuk pecahan desimal tampak sulit. Tapi dengan inovasi APIQ kita akan merasakan mudah dan asyiknya pecahan desimal.

3. Bintang Aljabar – Aritmetika Terbalik. Beberapa waktu lalu Paman APIQ telah menulis tentang logika persamaan aljabar terbalik. Kali ini kita akan menikmati persoalan aljabar atau aritmetika logika terbalik dengan jurus Bintang yang asyik.

4. Kantong Ajaib Aljabar Tingkat Lanjut. Kantong Ajaib dasar telah kita perkenalkan. Kantong Ajaib tingkat lanjut akan kita hajar habis pada training angkatan 21 ini.

5. Kombi Tingkat Lanjut. Angkatan 20 telah merasakan asyiknya belajar integral tingkat lanjut dengan bermain-main. Angkatan 21 juga akan merasakan asyiknya belajar matematika tingkat lanjut dengan bermain-main Kombi Milenium. Berbagai macam tema masih terbuka: limit, diferensial, logaritma, statistik, dan lain-lain.

Informasi lebih lengkap, email:

quantumyes@yahoo.com

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Selamat Datang di Training APIQ Angkatan 20

Dengan syukur dan kerendahan hati kami mengucapkan,

“Selamat datang, selamat berpartisipasi, selamat berkreasi di Training APIQ Angkatan 20.”

Training APIQ akan kita selenggarakan satu hari penuh.

Hari: Sabtu
Tanggal: 25 September 2010
Waktu: 08.30 s.d 20.30 wib
Tempat: APIQ Pondok Gede, Jalan Hankam 58 Pondok Gede

Berbagai macam inovasi matematika kreatif terbaru akan kita bagi bersama dalam forum Training APIQ ini.

Info lengkap: quantumyes@yahoo.com

Terima kasih atas kerja samanya.

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Semakin Dekat dengan 1 Juta Hit Blog APIQ

Ketika saya menulis postingan ini, statistik hit blog APIQ semakin mendekati 1 juta kunjungan. Lebih tepatnya 993.123 hit.

Hebat juga orang Indonesia. Mengunjungi tulisan matematika sampai 1 juta kunjungan. Terima kasih kepada seluruh teman-teman atas dukungannya.

Tapi siapakah yang akan tepat menjadi pengunjung ke 1 juta?

Jika rata-rata 1 hari terdapat 1.500 hit maka 4 atau 5 hari ke depan akan tepat 1 juta hit.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Memahami Sistem Persamaan Aljabar yang Terlalu Longgar atau Terlalu Ketat

“Pemahaman itu lebih penting dari keterampilan,” kata Paman APIQ.

Begitu pula memahami sistem persamaan aljabar itu juga lebih penting dari sekedar menyelesaikan soal persamaan aljabar. Tetapi bagaimana mengajarkan pemahaman sistem aljabar kepada anak-anak?

Cara mengajarkan pemahaman kepada anak-anak adalah dengan membantu anak-anak terampil menyelesaikan berbagai macam persamaan aljabar. Setelah anak-anak terampil, Paman APIQ memancing mereka dengan beberapa persoalan yang membangun pemahaman.

Paman APIQ meringkas prinsip sistem persamaan aljabar yang penting bagi setiap anak adalah,

“Sistem persamaan aljabar memiliki solusi unik jika mempunyai n variabel belum diketahui dan n persamaan.”

Jika sistem persamaan memiliki 2 variabel belum diketahui dan 1 persamaan maka tidak memiliki solusi unik. Sistem tersebut justru terlalu longgar yaitu memiliki banyak solusi yang mungkin.

Sebagai contoh, Al memiliki uang sebanyak dua kali lipat dari uang Geo. Tentukan banyaknya uang Al dan uang Geo!

Soal di atas adalah contoh sistem persamaan aljabar yang terlalu longgar. Maksudnya banyak jawaban yang mungkin. Misal uang Geo 100 maka uang Al 200. Jika uang Geo 1000 maka uang Al 2000. Jika diketahui 1 lagi persamaan baru yang independet maka soal di atas akan memiliki solusi unik.

Untuk contoh terlalu ketat, Al memiliki uang 2 kali lipat uang Geo. Uang Al dikurangi uang Geo adalah 10.000. Uang Al ditambah uang Geo adalah 20.000. Berapakah uang Al?

Untuk contoh yang ini kita memiliki 2 variabel belum diketahui dan 3 persamaan. Sistem ini adalah terlalu ketat. Untuk sistem yang terlalu ketat mungkin saja terjadi situasi yang tidak konsisten.

Sedangkan Paman APIQ untuk tahap-tahap awal lebih banyak mengenalkan konsep sistem persamaan aljabar yang memiliki solusi unik. Setelah anak paham kemudian Paman APIQ akan mengenalkan sistem persamaan aljabar yang terlalu longgar dengan memiliki banyak solusi. Dan terakhir Paman APIQ mengenalkan sistem persamaan aljabar yang terlalu ketat baik konsistem atau tidak.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Soal Cerita SD Kelas 5: Dasar-dasar Aljabar

Disiplin aljabar sangat penting bagi putra-putri kita. Paman APIQ pernah terbersit, bagaimana jika memasukkan aljabar dalam kurikulum SD? Ah… bukankah kurikulum SD kita sudah sangat tinggi dibanding kurikulum negara maju?

Kenyataannya, keterampilan dasar aljabar sudah diujikan kepada anak-anak SD bahkan sejak kelas 1. Semakin tinggi kelas maka semakin rumit keterampilan aljabar yang dibutuhkan.

Sekedar contoh aljabar yang muncul di SD kelas 1:
(1)
n + 2 = 5
n = …

Contoh aljabar yang kelas 4,
(2)
Jika luas dari suatu persegi panjang adalah 20 cm persegi dan panjang adalah 5 cm maka berapakah keliling persegi panjang tersebut?

Contoh aljabar lagi untuk kelas 5 atau kelas 6,
(3)
Perbandingan kelereng Al dan Geo adalah 3:4. Jika Al memiliki 57 kelereng maka berapakah seluruh kelereng yang dimiliki Al dan Geo?

Contoh-contoh soal di atas memerlukan keterampilan aljabar untuk menyelesaikannya. Dan masih banyak contoh soal cerita untuk SD yang membutuhkan keterampilan aljabar.

Apa yang dilakukan para siswa atau guru untuk menyelesaikan soal-soal di atas?

1. Coba-coba. Cara coba-coba adalah sah dan benar. Khususnya untuk soal sederhana kita dapat dengan mudah mencobanya. Untuk soal nomor (1) di atas kita dapat mencobanya,

n + 2 = 5
coba n = 2 maka 2 + 2 = 4;
coba n = 3 maka 3 + 2 = 5; (benar; selesai).

Sedangkan untuk soal seperti nomor (2) dan (3) cara coba-coba mulai agak sulit.

2. Keterampilan substitusi. Selama ini kita mengajarkan teknik substitusi mulai siswa SMP. Apakah layak substitusi kita ajarkan untuk anak SD?

3. Keterampilan menyederhanakan persamaan. Untuk dapat melakukan substitusi anak-anak perlu memanipulasi persamaan agar lebih sederhana.

n + 2 = 5
n = 5 – 2
n = 3

Bagaimana kita mengajarkan keterampilan tersebut?

Untuk contoh soal nomor (2),

p x l = 20
l = 20/p
l = 20/5
l = 4

Kemudian melakukan substitusi pada persamaan keliling,

K = 2p + 2l
K = 2.5 + 2.4
K = 10 + 8
K = 18 (Selesai)

Nah… bagaimana cara kita mengajarkan keterampilan substitusi dan manipulasi aljabar tersebut?

4. Keterampilan menguji jawaban akhir. Keterampilan menguji jawaban kadang terlewatkan. Padahal menguji jawaban justru menjadi langkah terpenting. Setelah seorang siswa mengerjakan berbagai macam tugas, pertanyaan akhirnya, apakah jawaban ini sesuai dengan yang dibutuhkan?

5. Pemodelan matematika. Membuat model matematika atau lebih sederhananya membuat kalimat matematika adalah dasar untuk menyelesaikan masalah.

Contoh untuk soal nomor (3)
A/G = 3/4
4A = 3G
A = 3/4 G atau G = 4/3 A

A = 57

Maka,

A + G = 57 + G
=57 + 4/3 A
= 57 + 4/3 57
= 57 + 76
= 133 (Selesai)

Tentu saja bagi yang sudah berpengalaman dapat menggunakan logika perbandingan dengan lebih cepat.

3x = 57
7x = … = 7(57/3) = 133 (Selesai).

Jadi, pertanyaan besar yang harus kita cari jawabannya,

“Bagaimana cara mengajarkan aljabar kepada anak-anak kita?”

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Matematika Politik dan Kekuasaan

Meski matematika ilmu pasti sedangkan politik dan kekuasaan penuh ketidakpastian tetapi ada beberapa titik temu antara keduanya.

Mumpung masih segar dalam ingatan saya ingin menuliskan sebagian kecil titik temu matematika dan politik kekuasaan.

Beberapa bulan lalu saya heran melihat papan iklan yang sangat besar di Jakarta. Mungkin ratusan meter persegi ukuran iklan itu (puluhan meter kali puluhan meter). Lebih heran lagi, tidak lama berselang, kota Bandung juga dibanjiri iklan yang sama. Iklan apakah gerangan?

Ratusan iklan tersebut berbunyi kira-kira, “AM for demokrat 1″.

Berbagai pertanyaan mucul dalam pikiran saya.

1. Siapakah lawan AM? Kok lawan AM tidak beriklan sama sekali? Sedangkan AM memberondong dengan beragam iklan.

2. Apakah SBY mendukung AM? Karena sepanjang iklan yang saya lihat tidak ada pernyataan dukungan eksplisit.

3. Bagaimana dengan masalah keuangan?

Belakangan saya tahu bahwa pertarungan sebenarnya berlangsung di Bandung. Dan pemenangnya… adalah … dengar-dengar adalah AU.

Jadi apa pesan matematika untuk dunia politik kekuasaan?

“Jika Anda bukan mayoritas maka jangan buru-buru menentukan sikap,” itulah pesan matematika sederhana untuk politik kekuasaan. Apa maksudnya?

Poros Tengah telah memainkan senjata matematika ini dengan baik. Waktu itu Amin Rais dengan baik memenangkan pertarungan di awal-awal reformasi. Tetapi yang lebih menang lagi justru Gus Dur.

Mari sedikit hitung-hitungan matematika dengan beberapa asumsi.

Asumsikan PDI P menang pemilu dengan suara terbesar 35%.
Golkar menantang di urutan kedua dengan suara 30%.

Jelas tidak ada suara mayoritas dalam hasil pemilu itu. Amin Rais dkk dengan cekatan membentuk poros tengah. Anggap poros tengah berhasil menghimpun suara 25%.

Meski poros tengah hanya kekuatan kecil tetapi memberi suara alternatif. PDI P tampak dengan yakin mengajukan Mega sebagai Capres. Golkar tidak setuju. Poros tengah bermain cantik mengajukan Gus Dur sebagai Capres.

Seperti kita tahu, Gus Dur menang. Mengapa? Bukan karena Poros tengah memiliki suara terbesar. Tetapi Golkar yang tidak mendukung Mega dapat saja berpindah ke Gus Dur. Dengan asumsi kasar, Gus Dur mengantongi suara 25% dari Poros tengah dan 30% dari Golkar.

Dalam kasus ini meski PDI P terbesar nomor 1 tetapi dia bukan mayoritas. Maka jangan buru-buru mengambil sikap.

Kejadian seperti ini tampaknya bisa berulang pada kasus AM di Bandung.

Mari berasumsi,

AM memiliki suara terbanyak 40%.
AU urutan kedua dengan suara 35%
MA urutan ketiga dengan suara 25%

Dengan asumsi di atas jelas bahwa AM urutan pertama tetapi bukan mayoritas. Iklan besar-besaran AM dapat membuat lawan AM sadar diri dan seperti kita tahu ….tampaknya AU menyalip dukungan suara dan memenangka pertarungan.

Tetapi kasus SBY di pemilu 2009 lebih menarik lagi. Dengan melihat-lihat situasi terakhir. Memperhatikan kekuatan lawan. SBY yakin mengantongi suara mayoritas (asumsikan 55%) maka ia memilih calon wakil presiden dari non partai.

Dengan suara mayoritas itu, siapa pun wakilnya, tetap mengantar SBY memenangkan pertarungan. Dan dengan mengambil wakil non partai membuat kekuasaan SBY tak terpecah. Atau SBY tidak berhutang kekuasaan.

Jadi, pesan dari matematika,

“Jika Anda bukan suara mayoritas maka jangan buru-buru menentukan sikap. Meskipun Anda adalah suara terbanyak.”

Tetapi jika Anda adalah suara mayoritas tentu terserah Anda. Hanya saja risiko dan tanggung jawab ada dalam diri Anda.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat….

Berhitung Cepat Perpangkatan atau Eksponen

Beberapa waktu lalu Paman APIQ telah menulis cara berhitung cepat perpangkatan atau eksponen tingkat tinggi. Kali ini Paman APIQ akan berbagi cara berhitung cepat eksponen atau perpangkatan tingkat tinggi dengan basis 2.

Mengapa basis 2?

Karena basis 2 menjadi sangat penting untuk dunia digital, komputer, dan internet.

Menurut Paman APIQ setiap orang umumnya sudah hafal eksponen sampai 2^5.

2^2 = 4; jelas.
2^3 = 8; karena 4×2 = 8
2^4 = 16; karena 4×4 = 16
2^5 = 32; karena 16×2 = 32

Lebih dari itu biasa orang mulai memerlukan kertas atau kalkulator untuk menghitung.

Paman APIQ menyarankan agar menambah kosa hitung kita.

2^10 = 2^5 x 2^5 = 32×32

Tentu dengan teknik bintang mudah kita hitung

2^10 = 1024

Bilangan ini menjadi menarik karena 1024 dekat dengan 1.000. Bahkan dunia komputer sering menganggap 1024 sebagai seribu atau 1 kilo.

1024 bit = 1 kilobit = 1 kb

Dengan tips Paman APIQ di atas, kita menjadi lebih mudah menghitung:

2^32 = ???

= 2^10.2^10.2.10.2^2
= 1k.1k.1k.4
= 4 milyard

2^128 = ???

=(2^10)^12.2^8
= trilyun trilyun trilyun 2^8
= 256 trilyun trilyun trilyun

Bilangan di atas adalah banyaknya IP address atau alamat internet untuk IPv4 dan IPv6.

Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat…

Semakin Mahir Semakin Peka: Belajar Mudah Trigonometri

Konsep dasar trigonometri berhubungan erat dengan segitiga siku-siku. Segitiga siku-siku berhubungan dengan rumus Pythagoras. Seperti kita tahu, rumus Pythagoras memanfaatkan kuadrat dan akar. Karena itu trigonometri tentu berhubungan dengan akar, baik rasional atau irasional.

“Semakin mahir maka semakin peka,” ungkap Paman APIQ.

Seorang guru pemula berbeda dengan guru berpengalaman. Guru berpengalaman peka bagian-bagian mana yang sesuai dengan siswa dan bagian mana yang harus disimpan untuk tahap belajar berikutnya.

Al, Geo, Meti bermain-main layang-layang. Mereka telah berhasil menerbangkan layang-layang sangat tinggi.

Pada kondisi angin yang cukup kencang dan stabil, Geo mengikatkan benangnya di tanah, pada batang pohon.

“Berapa tinggi layang-layang kita?” tanya Meti.
“Bagaimana cara mengukurnya ya?” Al menambahkan.
“Pasti ada caranya!” Geo yakin saja.

Al, Geo, Meti kemudian berdiskusi. Mereka menemukan beberapa data penting.

# Tanah dapat dianggap sebagai datar
# Panjang benang adalah 100 meter (tertera dalam kemasan benang).
# Sudut benang dan tanah adalah t

“Apa itu sudut t?” tanya Meti.
“t adalah sudut terkecil dari segitiga paling terkenal 3,4,5 dari Paman APIQ,” jelas Geo.

“Kita perlu data apa lagi?” tanya Al.
“Kita perlu mengukur jarak datar panjang tempat kita mengikat benang dengan bawahnya layang-layang langsung,” Al menjawab sendiri.

“Aku sudah tahu,” kata Geo, “jaraknya adalah 80 meter.”

Al, Geo, Meti lalu mengukur jarak datar tersebut dan memang benar 80 meter.

“Tinggi layang-layang aku juga sudah tahu,” kata Geo.
“Tingginya 60 meter kan!” Meti mendahului.
“Betul!” sahut Al dan Geo.

Bagaimana cara mereka menghitung?

Mereka menghitung dengan menggunakan trigonometri rasional dari Paman APIQ.

Sin t = 3/5 = Tinggi/panjang benang

Tinggi = 3/5 x panjang benang
= 3/5 x 100
= 60 meter (Selesai).

Trigonometri rasional juga membantu anak-anak untuk menghitung dengan perbandingan segitiga sebangun.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Sopan Santun Jalan Hidup Matematika Kreatif

Beberapa orang yang baru kenal dengan Paman APIQ memiliki pengalaman yang berbeda.

Ani terpesona dengan gayanya Paman APIQ membawakan matematika kreatif sejak pandangan pertama. Setelah pertemuan pertama dengan Paman APIQ, Ani memastikan bahwa dirinya jatuh cinta dengan matematika.

Apa yang membuat Ani jatuh cinta?

Paman APIQ menampilkan beberapa sisi menarik dan kreatifnya matematika. Biasanya Paman APIQ memperkenalkan konsep perkalian 11.

11 x 12 = … = 132
11 x 13 = … = 143
11 x 16 = … = ….
11 x 24 = … = ….

212 x 11 = …
234 x 11 = …

Konsep perkalian 11 dapat kita perluas menjadi perkalian 111.

123 x 111 = … … … = 13653
321 x 111 = … … … = 35631
312 x 111 = … … …
213 x 111 = … … …

216 x 111 = … … …
621 x 111 = … … …
261 x 111 = … … …

Ani semakin mahir matematika dan semakin cinta dengan matematika. Setelah kira-kira 5 kali belajar APIQ Ani telah menguasai banyak jurus ampuh matematika kreatif.

Bukannya makin cinta, Ani mulai meragukan matematika kreatif. Ternyata matematika kreatif hanya gitu-gitu saja.

Apalagi bila Ani bertemu dengan Paman APIQ bersama orang lain yang baru kenal matematika kreatif maka Paman APIQ akan memperkenalkan matematika kreatif yang sudah dikuasai oleh Ani.

Ani mencoba bertahan. Sampai kira-kira pertemuan ke-10 dengan Paman APIQ. Cinta Ani kepada matematika tumbuh lagi, mekar kembali. Mengapa?

Matematika kreatif APIQ benar-benar hebat. Ani baru menyadari bagaimana inovasi di bidang kalkulus, aljabar, geometri, number theory, dan lain-lain begitu mempesona. Paman APIQ bukannya tidak menampilkan inovasi matematika kreatif selama ini. Hanya saja Ani belum memahami inovasi matematika tingkat tinggi pada pertemuan ke-6 sampai pertemuan ke-9.

Baru pada pertemuan ke-10 Ani mampu menangkap semangat inovasi matematika kreatif APIQ yang tiada henti terus-menerus. Ani jatuh cinta lagi pada tingkat yang lebih tinggi.

Meski begitu, Paman APIQ masih tetap saja memperkenalkan konsep sederhana dalam berbagai forum seperti perkalian 11. Tetapi Ani tidak sebel lagi. Ani sudah paham Paman APIQ melakukan itu demi kebaikan bersama.

“Matematika memiliki sopan santun,” jelas Paman APIQ.

Untuk tahap awal kenalkan matematika yang kreatif dan mudah. Baru setelah mereka siap tampilkan matematika yang lebih menantang. APIQ tidak sekedar aritmetika. APIQ mempelajari matematika secara utuh dari aritmetika, geometri, aljabar, kalkulus, fungsi, statistik, dan lain-lain.

Sopan santun Paman APIQ akan menampilkan matematika sesuai situasi dan kondisi. Tidak harus seluruh materi tampil bersamaan.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Group of Permutation and Cyclic (Abstract Algebra)

Membaca memperluas semesta
Menulis memperkokoh semesta

Saya ingin mencatat beberapa ide tentang aljabar abstrak – setelah membaca.

the set of all the permutations of A, with the operatin * of composition, is a group.

For any set A, the group of all the permutations of A is called the symmetric group on A, and it is represented by symbol SA.

If G is a group and a is element of G, it may happen that every element of G is a power of a. In other words, G may consist of all the power of a, and nothing else…

In that case, G is called the cyclic group, and a is called its generator.

Selamat berpetualang dengan aljabar abstrak.

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto; Pendiri APIQ)