Arsip Tag: logika matematika

Logika Dasar Terpenting untuk Anak Didik

Posted on Januari 30, 2012 | Tinggalkan Komentar

Paman APIQ sering mengungkapkan bahwa belajar logika itu penting. Tetapi banyak anak merasa bahwa matematika menjadi tidak logis ketika membahas logika. Sayang sekali!

Paman APIQ ingin merumuskan cara belajar logika dasar yang penting bagi anak-anak kita.

1. Perkenalkan logika dasar dengan contoh yang benar.

Untuk mendapatkan hadiah sepeda baru, Al harus memenuhi 2 syarat : sholat subuh berjamaah dan membaca Quran setelah sholat.

A: sholat subuh berjamaah
B: membaca Quran setelah sholat

Pernyataan logika yang bersesuaian dengan Al di atas adalah A AND B.

Maksudnya, Al akan berhak mendapat hadiah sepeda jika A bernilai benar dan B bernilai benar. Bila salah satu antara A atau B ada yang salah maka Al tidak berhak menuntut hadiah sepeda. Masuk akal kan?

Contoh lain:

P : Ibu pergi ke pasar
Q : Ayah pergi ke kantor

Logika P AND Q tidak memberi makna berarti bagi siswa kita. Logika P OR Q juga tidak memberi arti bagi siswa kita.

Kenyataannya P dengan Q memang tidak memberi hubungan logika secara langsung. Paman APIQ menyarankan agar kita tidak menggunakan contoh kurang tepat seperti P atau Q di atas.

Logika OR dapat lebih membingungkan. “Segitiga memiliki 3 sudut atau 1 + 2 = 7 adalah bernilai benar.” Hindari contoh yang membingungkan ini. Sebaliknya pertimbangkan saran Paman APIQ untuk memilih contoh-contoh yang tepat.

2. Perkaya contoh logika dengan rekayasa.

Perkembangan teknologi atau rekayasa memberi kita banyak peluang untuk mengembangkan logika matematika. Jika kita sulit mencari contoh logika yang tepat untuk kehidupan sehari-hari maka dunia rekayasa memberi contoh yang berlimpah dan baik untuk logika matematika. Paman APIQ menyarankan agar Bapak Ibu guru memanfaatkan contoh-contoh rekayasa.

Geo dapat mengambil pensil dengan tangan kiri atau tangan kanan.

A: tangan kiri
B: tangan kanan

Pernyataan logika yang tepat, A atau B.

Hati-hati dengan contoh, “Anda boleh minum kopi atau teh.”
Meski sepertinya logika yang tepat adalah OR, tetapi anak-anak lebih memikirkannya sebagai logika XOR. Yaitu pilihan tepat hanya salah satunya saja antara kopi atau teh. Memilih keduanya dianggap salah.

“Kita dapat ke Jakarta naik mobil atau naik kereta.”

Ini juga lebih dekat dengan “XOR” dari pada “OR”.

“Mobil ini akan segera berangkat bila ada penumpang 1 orang atau 2 orang.”

Contoh terakhir dapat diterima anak-anak sebagai OR.

3. Yakinkan dengan contoh-contoh manfaat logika matematika

Contoh-contoh positif kekuatan logika sangat penting kita beberkan. Sayangnya lebih banyak contoh negatif bagi anak-anak kita. Maksudnya, banyak orang lebih sering menunjukkan kesalahan logika dibanding dengan menunjukkan manfaat logika itu sendiri. Sebagai pendidik kita perlu mengumpulkan contoh-contoh inspiratif manfaat logika matematika.

Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat…
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ

→ Leave a comment

Ditulis pada APIQ

Di-tag ,

Latihan Logika Matematika SMA Contoh Tepat Bikin Hebat

Posted on Januari 26, 2012 | 1 Komentar

Paman APIQ menyadari pentingnya menghadirkan contoh yang tepat untuk belajar logika bagi anak-anak. Sayangnya banyak contoh yang tidak tepat sehingga makin membingungkan anak.

Tahap paling penting adalah anak kita memahami logika secara intuitif. Setelah itu anak kita dapat belajar dengan teori-teori logika yang lebih mahir.

“Jika 1 + 1 = 5 maka matahari terbuat dari nasi.”

Intuisi kita mengatakan pernyataan di atas salah. Tetapi logika implikasi matematika menyatakan bahwa pernyataan di atas adalah benar.

Diskusi lebih seru silakan merujuk ke tulisan Paman APIQ sebelumnya:
Logika UN SMA 2010: Gampang-gampang Susah

Seorang teman saya, dosen ITB, berpesan agar saya memberi tempat khusus untuk membahas logika. Saya tertarik dengan pesan itu. Maka saya mulai mengumpulkan dan menulis lagi tentang logika, khususnya logika matematika.

Mari kita ambil contoh persoalan logika pada UN SMA 2010 beberapa waktu lalu. Paman APIQ merasa senang karena akhir-akhir ini UN SMA sering memunculkan persoalan logika implikasi. Karena logika implikasi adalah konsep sangat penting tetapi sering kurang dipahami.

# Perhatikan premis-premis berikut.
1. Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara.
2. Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut bertanding.
Ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas adalah:

A. Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut bertanding.
B. Saya giat belajar atau saya tidak boleh ikut bertanding.
C. Saya giat belajar maka saya bisa meraih juara.
D. Saya giat belajar dan saya boleh ikut bertanding.
E. Saya ikut bertanding maka saya giat belajar.

Jawab:
Kesimpulan dari premis-premis di atas masuk akal dan intuitif. Paman APIQ yakin anak-anak kita akan berhasil menarik kesimpulan dengan benar.

Kesimpulan:
Jika saya giat belajar maka saya boleh ikut bertanding.

Langkah kedua adalah membuat ingkaran (negasi) dari logika implikasi di atas.

Anak-anak sering terjebak dengan membuat ingkaran,

“Jika saya TIDAK giat belajar maka saya TIDAK boleh ikut bertanding.”

Ini bukan ingkaran. Bahkan ini seperti ungkapan yang mirip tapi beda redaksi.

Ingkaran harus benar-benar berlawanan dengan pernyataan aslinya. Maksudnya jika pernyataan benar maka ingkaran harus salah. Begitu pula jika pernyataan salah maka ingkaran harus benar.

Untuk implikasi, Paman APIQ menyarankan agar kita menggunakan contoh bahasa yang lebih nyata. Anak-anak akan mudah memahami.

Implikasi:
Jika SYARAT TERPENUHI maka JANJI TERPENUHI.

Ingkaran dari implikasi:
SYARAT TERPENUHI tetapi JANJI TIDAK TERPENUHI.

Masuk akal kan?

Contoh: implikasi,
Jika datang tepat waktu maka dapat hadiah.

Ingkaran?
Datang tepat waktu tetapi TIDAK dapat hadiah.

Contoh lagi: implikasi
Jika baik hati maka mendapat pacar cantik.

Ingkaran?
Baik hati tetapi TIDAK mendapat pacar cantik.

Mari kembali ke soal UN di atas.
Implikasi:
Jika saya giat belajar maka saya boleh ikut bertanding.

Ingkaran?
Saya giat belajar tetapi saya TIDAK boleh ikut bertanding. (Jawaban A).

Tetapi pilihan jawaban A menggunakan kata hubung “DAN”.

A. Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut bertanding.

Hal ini juga perlu kita pahamkan kepada anak-anak bahwa ungkapan “DAN” = “TETAPI”.

Dalam kehidupan sehari-hari kita menggunakan “DAN” bila selaras. Sedangkan “TETAPI” kita gunakan bila bertentangan.

Secara matematis tetap saja “DAN” = “TETAPI”. Kenyataannya soal-soal resmi sekolah kita hampir selalu memakai istilah “DAN”. Padahal bila kita lebih terbuka memanfaatkan “TETAPI” maka akan banyak membantu siswa-siswa kita. Itulah salah satu usul Paman APIQ.

Tentu saja kita juga dapat menguji suatu ingkaran dengan menggunakan tabel kebenaran ala Aljabar Boolean. Selamat berpetualang…

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 1 Komentar

Ditulis pada APIQ, Inovasi Pembelajaran, inovasi pembelajaran matematika

Di-tag , , , , ,

Kebenaran Pelangi Matematika Modern

Posted on September 7, 2011 | Tinggalkan Komentar

Paman APIQ sempat mengalami matematika sebagai ilmu pasti. Sedangkan ilmu lain ada yang tergolong ilmu sosial – jadi ilmu tidak pasti? Sementara anak-anak sekarang cenderung menyebut matematika sebagai matematika saja. Bahkan istilah aljabar, geometri, dan aritmetika pun sekarang jarang dipakai oleh anak-anak kita di sekolah.

Matematika sebagai ilmu pasti, di jaman dulu, sudah mulai berbeda dengan jaman sekarang. Apakah matematika menjadi tidak pasti? Matematika modern semakin berkembang. Jika matematika kuno secara pasti dapat menilai suatu pernyataan matematika sebagai 100% benar atau 100% salah maka matematika modern mengijinkan nilai kebenaran 25%. Sehingga kebenaran 25% ini menjadi tidak pasti.

Paman APIQ mengistilahkan matematika kuno sebagai kebenaran hitam-putih. Sedangkan matematika modern mengijinkan kebenaran pelangi – merah, jingga, kuning, hijau….

Dalam kehidupan sehari-hari kebenaran pelangi ini menjadi penting untuk rasa saling menghormati. Dengan adanya semangat pelangi maka masing-masing orang menghargai pendapat orang lain dengan baik. Tidak harus memaksa pendapat dirinya saja yang benar.

Secara matematis kebenaran pelangi ini mendapatkan dukungan kuat dari teori peluang dan teori logika fuzzy (fuzzy logic). Berikut contoh catatan Paman APIQ tentang kebenaran pelangi.

P: Geo mungkin melihat bulan.
~P: Geo mungkin tidak melihat bulan.

Q: Meti pasti melihat bulan.
~Q: Meti pasti tidak melihat bulan.

Untuk pernyataan Q, kebenaran pelangi dan hitam-putih menghasilkan kesimpulan yang sama. Tetapi untuk pernyataan P dapat menghasilkan negasi yang beda. Logika hitam-putih dapat memilih,

~P: Geo tidak mungkin melihat bulan.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Ditulis pada APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Di-tag , , , , ,

Ide Kreatif Logika Matematika Muncul dari MUI

Posted on September 6, 2011 | 2 Komentar

Paman APIQ selalu belajar setiap saat. Belajar dari kebenaran mau pun dari kesalahan. Melakukan kesalahan itu manusiawi. Akui kesalahan, minta maaf, dan perbaiki. Lalu berjanji tidak mengulangi lagi.

Apa lagi suasana lebaran adalah saat yang tepat untuk saling memaafkan.

Saat ini saya tertarik dengan ungkapan MUI ketika sidang isbat (penentuan hari raya). Saat itu MUI menggunakan istilah “tidak mungkin.” Jelas ungkapan “tidak mungkin” dimaksudkan untuk menegasikan ungkapan “mungkin”. Apakah benar negasi dari “mungkin” adalah “tidak mungkin”?

Memang saat itu, ungkapan MUI sedikit lebih rumit dari sekedar negasi. Ungkapan MUI juga melibatkan logika implikasi yang sering disalahpahami sebagai biimplikasi.

Jika matahari terbenam maka mulai maghrib.

Kebalikannya (konvers) juga bernilai benar:

Jika mulai maghrib maka matahari terbenam.

Pernyataan di atas adalah biimplikasi. Bandingkan dengan pernyataan implikasi berikut ini.

Jika kuda maka berkaki empat.

Kebalikannya (konvers),

Jika berkaki empat maka kuda.

Perhatikan bahwa konvers tidak bernilai benar karena pernyataan di atas adalah implikasi. Tentu pembahasan akan menarik dengan memperhatikan invers dan kontra posisi.

Tetapi saya sangat tertarik dengan ungkapan “mungkin melihat”. Apa ingkaran (negasi) dari “mungkin melihat”?

P: Saya mungkin melihat bulan.

Apa ingkaran dari pernyataan di atas?

~P: Saya tidak mungkin melihat bulan.

Atau,

~P: Saya mungkin tidak melihat bulan.

Sambil memikirkan logika negasi di atas saya coba cari informasi melalui google. Baik yang berbahasa Indonesia mau pun berbahasa lain, saya tidak menemukan pembahasan tentang negasi dari “mungkin”.

Hipotesa awal saya adalah negasi dari “mungkin” akan lebih tepat bila kita hubungkan dengan teori probabilitas (peluang). Pada dasarnya makna dari “mungkin” juga mengandung peluang terjadinya sesuatu. Untungnya, teori peluang telah berkembang dengan matang. Jadi kita dapat terbantu oleh teori peluang.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 2 Komentar

Ditulis pada APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Di-tag , , , ,

Praktik Penerapan Logika Matematika

Posted on Agustus 5, 2011 | Tinggalkan Komentar

Kadang-kadang siswa sulit membayangkan penerapan nyata dari logika matematika. Seorang guru pun tidak mudah memberi contoh yang gamblang. Sedangkan Paman APIQ hampir tiap hari menerapkan logika matematika. Anda pasti juga sering menerapkan logika matematika.

Semua peralatan listrik pasti menerapkan logika matematika.

Karena Anda membaca tulisan ini memakai komputer maka Anda sedang menerapkan logika matematika. Atau karena Anda membaca dengan penerangan lampu listrik maka Anda sedang menerapkan logika matematika.

Mari kita perhatikan logika AND dan OR.

Untuk membaca tulisan dari internet Paman APIQ perlu kabel listrik, komputer, koneksi internet.

Logika apa yang tepat untuk menjelaskan makna koma di atas?

AND.

Kabel listrik AND komputer AND koneksi internet

Maksudnya bila semua benar maka benar. Bila ada satu saja yang salah maka bernilai salah. Misal kabel listrik putus maka Paman APIQ tidak dapat membaca internet. Atau bila kabel OK tapi hanya komputer bermasalah maka Paman APIQ juga dapat masalah.

Untuk membaca buku Paman APIQ perlu memakai penerangan lilin, lampu listrik, lampu minyak.

Logika apa yang tepat untuk menjelaskan tanda koma di atas?

OR.

Lilin OR lampu listrik OR lampu minyak.

Cukup hanya satu saja yang benar maka bernilai benar. Misal hanya tersedia lilin saja, lainnya tidak ada maka Paman APIQ sudah dapat membaca buku.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Ditulis pada APIQ

Di-tag , ,

Logika Matematika yang Banyak Membantu: Kasus Implikasi

Posted on Juli 26, 2011 | Tinggalkan Komentar

Paman APIQ memandang logika implikasi adalah pelajaran paling penting dari logika matematika. Tetapi di saat yang sama logika implikasi adalah yang paling banyak disalahpahami. Baik oleh para pemikir atau pun oleh siswa sendiri.

Karena itu Paman APIQ mencatat beberapa contoh implikasi yang dapat membantu kita lebih memahami logika implikasi. Contoh-contoh ini sangat membantu bagi para siswa dan guru.

“Jika ayam berkaki 5 maka 1 + 1 = 7.”

Secara matematis pernyataan di atas bernilai benar. Tetapi para kritikus menyerang habis logika yang membenarkan pernyataan di atas. Kita sendiri, secara intuitif, sulit menerima kebenaran pernyataan di atas. Bayangkan apa yang dipikirkan oleh anak-anak kita?

Berikut adalah catatan contoh implikasi yang membantu.

1. Jika kuda maka berkaki 4.
2. Jika manusia maka bermata 2.
3. Jika pohon maka makhluk hidup.

Contoh-contoh semacam di atas dapat terus kita kembangkan sampai tak terbatas.

Sedangkan contoh berikut harus lebih hati-hati.

“Jika mobil maka berroda 4.”

Meski secara matematis contoh pernyataan di atas sah-sah saja. Tetapi hubungan implikasi antara mobil dan roda 4 tidak mudah dipahami.

“Jika pagi maka matahari terbit.”

Lagi-lagi contoh ini seperti pas. Tetapi hubungan implikasi antara pagi dan matahari terbit juga tidak mudah kita pahami. Logika biimplikasi lebih mudah kita pahami.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Ditulis pada APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Di-tag , , , ,

Logika Matematika Tidak Masuk Logika

Posted on Juli 25, 2011 | Tinggalkan Komentar

Itulah kenyataan di sekolah-sekolah kita. Logika matematika menjadi tidak logis bagi anak-anak kita. Memang logika matematika tidak 100% sama persis dengan logika umum sehari-hari.

“Jika setiap manusia memiliki 3 mata maka 4 + 5 = 10.”

Benar atau salahkah pernyataan di atas?

Logika matematika menyatakan bahwa pernyataan di atas adalah BENAR.

Tetapi logika umum, secara intuitif, kita cenderung menilai pernyataan di atas adalah SALAH.

Jadi, bagaimana?

Paman APIQ menyarankan agar kita menghindari contoh-contoh logika seperti di atas pada awal belajar logika. Karena itu kita perlu hati-hati dalam memilih contoh. Tujuan kita adalah melatih anak-anak paham logika matematika. Setelah anak-anak paham kita dapat memberi tantangan yang lebih rumit.

“Jika adik jujur maka jadi orang baik.”

Pernyataan di atas bernilai BENAR secara intuitif. Logika matematika juga dapat menilai BENAR pernyataan di atas. Karena itu pernyataan di atas dapat kita jadikan awal penyelidikan konsep logika implikasi dalam matematika.

Meski pun contoh pernyataan di atas masih mengandung beberapa ambiguitas tetapi masih dapat kita maklumi.

Berikutnya, pemilihan istilah logika menjadi penting. Misalnya buku-buku matematika sering menggunakan istilah konjungsi dan disjungsi. Apa maksudnya?

Tidak mudah bukan?

Paman APIQ lebih menyarankan agar kita menggunakan istilah AND dan OR. Penggunakan istilah DAN juga boleh. Hanya saja istilah DAN atau ATAU kadang rancu dengan ungkapa sehari-hari. Sedangkan ungkan AND atau OR lebih aman dari tercampurnya dengan istilah sehari-hari.

“Jika x^2 = 9 maka x = 3.”

“Jika x = 3 maka x^2 = 9.”

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Ditulis pada APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Di-tag , , , ,

Logika Matematika Dasar Paling Penting

Posted on Juli 15, 2011 | 1 Komentar

Setelah mempertimbangkan banyak hal, Paman APIQ mencatat logika dasar paling penting untuk matematika dasar.

1. Nilai kebenaran kalimat tertutup. Sementara abaikan dulu logika modern semacam logika fuzzy.

2. Operator negasi (ingkaran).

3. Operator OR

4. Operator AND

5. Implikasi

6. Biimplikasi

7. XOR

Tentu saja untuk semua tema di atas kita harus memanfaatkan logika sebagai alat sah menarik kesimpulan.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 1 Komentar

Ditulis pada Uncategorized

Di-tag , ,

Logika Matematika Memudahkan Menarik Kesimpulan Aljabar

Posted on Juli 7, 2011 | Tinggalkan Komentar

Sederhana tapi penting untuk pemahaman. Setelah mengerjakan sistem persamaan 2 variabel, Al memperoleh hasil:

0 = 7.

Apa kesimpulannya?

Tentu saja Al yakin bahwa 0 tidak sama dengan 7. Pasti ada sesuatu.

“Menurut Kamu bagaimana Al?” tanya Paman APIQ.
“Lho, saya yang mau bertanya kok malah ditanyain!” Al protes.

0 = 7 bernilai salah. Tetap bernilai salah untuk berapa pun nilai x atau y dalam sistem bilangan riil.

Kesimpulan: tidak ada pasangan x dan y yang memenuhi sistem persamaan. Karena berapa pun nilai x dan y yang kita pilih akan menghasilkan perhitungan yang salah yakni 0 =7.

Dalam gambar grafik lebih tampak jelas bahwa grafik-grafik dari sistem peramaan tersebut tidak berpotongan. Misalnya dua garis sejajar.

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari
3x + 4y = 7
6x + 8y = 21

Dengan eliminasi kita peroleh, (persamaan 1 kalikan 2)

6x + 8y = 21
6x + 8y = 14
————– -

0 = 7; Bernilai salah.

Kesimpulan: tidak ada pasangan x dan y yang memenuhi sistem persamaan di atas. Atau dengan gambar grafik maka tidak ada titik potong dari dua garis di atas.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Ditulis pada APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Di-tag , , , , , ,

Bocoran Kunci Jawaban Ujian Nasional UN 2011

Posted on April 14, 2011 | 19 Komentar

Bocoran kunci jawaban UN 2011 membuat deg-degan. Sambil deg-degan mari belajar berlatih UN 2011 untuk matematika SMA.

Contoh soal:

Perhatikan premis-premis berikut.

1. Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara.
2. Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut bertanding.

Ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas adalah:

A. Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut bertanding.
B. Saya giat belajar atau saya tidak boleh ikut bertanding.
C. Saya giat belajar maka saya bisa meraih juara.
D. Saya giat belajar dan saya boleh ikut bertanding.
E. Saya ikut bertanding maka saya giat belajar.

Silakan berlatih…

Contoh soal:

Jika UN bocor maka nilai siswa tinggi.
Jika nilai siswa tinggi maka menteri senang.

Maka ingkaran dari kesimpulan premis di atas adalah…

Jawab:
Dengan silogisme, kesimpulan:

Jika UN bocor maka menteri senang. (Sah)

Ingkaran dari (jika UN bocor maka menteri senang):

UN bocor dan menteri TIDAK senang. (Selesai).

Atau dalam ungkapan sehari-hari:

UN bocor tapi menteri tidak senang.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 19 Komentar

Ditulis pada inovasi pembelajaran matematika

Di-tag , , , ,