Arsip Tag: kalkulus

Cara Mudah Menghitung Luas Bidang Datar Segala Bentuk

Posted on Mei 31, 2010 | 2 Komentar

Menghitung luas bidang datar adalah keterampilan geometri yang mendasar. Pada tingkat yang lebih tinggi, menghitung luas dapat diterapkan dalam berbagai bidang, tidak terbatas hanya kepada geometri saja.

Kalkulus telah membantu kita menghitung luas untuk berbagai macam bidang datar. Teknik integral sangat berguna untuk menghitung luas.

Paman APIQ menyusun teorema untuk memudah menghitung luas bangun datar dengan bentuk apa pun.

Teorema luas:

Luas bidang datar yang dibatasi oleh grafik fungsi polinom dan sumbu x dapat dihitung dengan rumus,

L = s.a.t

di mana

L : Luas bidang datar
a : alas
t : tinggi
s : suatu konstanta

Bukti?

Kasus 1
Mari kita mulai dengan kasus sederhana,

f(x) = t = konstan

Maka luas adalah

L = I (t) ; [integral t terhadap dx]
= tx

Dengan memilih batas integral 0 < x < a maka

L = t (a – 0)
= at

Ini adalah rumus yang sudah akrab dengan kita. L = at = p x l, rumus luas segi empat.

Kasus 2
Mari kita pilih yang sederhana lagi,

f(x) = kx

Maka luas adalah,

L = I(kx)
= 1/2 kx^2

Dengan memilih batas pengitegralan 0 sampai a maka

L = 1/2 ka^2
= 1/2 a. ka
= 1/2 a.t

Rumus L = 1/2 at juga sudah akrab bagi kita. Ini adalah rumus luas segitiga.

Kasus 3,
Mari kita pilih fungsi yang lebih umum,

f(x) = kx^n

Maka luas adalah,

L = I (kx^n)

= \frac{1}{n+1} kx^{n+1}

Dengan memilih batas integral 0 sampai a maka

L = \frac{1}{n+1} ka^{n+1}

= \frac{1}{n+1} a.ka^n
= s.a.t
Terbukti.

Meski bentuk rumus yang terakhir agak jarang kita temui tetapi para siswa yang belajar integral sudah sangat akrab dengan bentuk tersebut. Dengan konsep ini, apa lagi bila kita perkaya dengan ilustrasi gambar, maka menghitung luas hanya memerlukan satu rumus yang mudah.

L = s.a.t

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 2 Komentar

Ditulis pada APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Di-tag , , , , ,

Anak Usia 5 Tahun Berdiskusi Tentang Teorema Limit Matematika

Posted on Maret 11, 2010 | 1 Komentar

Banyak sekali ide tentang matematika kreatif yang mesti Paman APIQ tuliskan. Tapi Paman APIQ harus mengatur waktu dengan baik agar berhasil menulis di tengah-tengah kondisi super sibuk ini.

Paman APIQ hanya ingin mencatat diskusi dengan Al kecil, usia 5 tahun.

“Paman APIQ, tak terhingga itu tak bisa dihitung ya…?” tanya Al.
“Ya, karena besar sekali memang sulit dihitung. Tapi bisa-bisa saja kita menghitungnya bila mau,” jawab Paman APIQ.
“Bagaimana caranya?”
“1 karung beras ada berapa butir?”
” 1 karung + 1 karung ?”
” 2 karung, sama dengan 2 tak hingga,” jawab Al mantap.

“Seperti ratus-ratus ya…?” komentar Al yang memang masih usia 5 tahun.
“Maksudnya?” Paman APIQ bertanya.
“Itu seperti 3 ratus + 3 ratus.”
“Memang berapa?”
“6 ratus,” jawab Al dengan mantap.

Paman APIQ semakin kagum saja dengan Al yang memulai pembicaraan limit kalkulus seperti di atas.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 1 Komentar

Ditulis pada APIQ

Di-tag , , ,

Kamil Kalkulus: Belajar Kalkulus Sambil Bermain (Catatan)

Posted on Desember 3, 2009 | Tinggalkan Komentar

Kartu Milenium (Kamil) Kalkulus tentu sangat asyik dimainkan. Bermain-main riang gembira, bonusnya memahami konsep kalkulus. Anda siap?

1. f(x) = 3x^2 - 11x + 5

f’(2) = …

2. \int -\frac {4}{9} (x - 1)(x - 4)dx = …

1 < x < 4

3. \lim_ x \rightarrow 1 \:\: \frac{x^3 - 1}{x - 1} = ...

4. \int 2Sinx dx = ...

0 < x < pi

5. \lim_x \rightarrow 0 \:\: \frac {sin6x + 9tanx}{2x + sinx} = ...

Selamat bermain…

→ Leave a comment

Ditulis pada APIQ

Di-tag , , ,

Berkenalan dengan Turunan setelah Limit

Posted on Desember 1, 2009 | 3 Komentar

Setelah mengenal limit maka urutan berikutnya adalah mengenal konsep turunan – diferensial.

Pendekatan secara urut memang menyarankan begitu. Tetapi pendekatan otak kanan mungkin saja melakukan sebaliknya. Bahkan mungkin saja kita belajar integral dulu baru turunan dan limit.

Mari sekarang kita berkenalan dengan turunan.

Definisi formal dari turunan cukup menakutkan karena menggunakan konsep limit.

f’(x) =
\lim_ {h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)} {h}

Nah…begitulah…

Tapi penerapan dari turunan justru lebih mudah dari konsepnya itu sendiri.

Misal kita akan mencari turunan dari

f(x) = 3x^2

Maka

f'(x) = 6x (Selesai).

Bagaimana caranya?

Perhatikan pangkat dari x adalah 2.
Karena turunan maka pangkatnya kita turunkan 1 menjadi pangkat 1.
Sedangkan 2 kita gunakan untuk mengalikan koefisien 3 menjadi 3 x 2 = 6.

Jadilah kita memiliki

f’(x) = 6x (Selesai).

Sir Isaac Newton adalah tokoh kita yang banyak membahas kalkulus dengan contoh-contoh penerapan bidang fisika.

Turunan berpadanan dengan kecepatan gerak. Jika kita mengetahui fungsi posisi (dalam hal ini mari kita anggap semua besaran adalah skalar, pembahasan vektor di lain kesempatan) maka turunannya adalah kecepatan.

Misalnya, Paman APIQ bersama Al, Geo, Meti pergi dari Bandung ke Jakarta. Setiap waktu mereka mengukur dengan mencatat posisinya. Hasil pencatatan mereka memberikan rumus posisi sebagai f(x).

f(x) = 5x^2

(dalam satuan km, waktu satuan menit).

Berapakah kecepatan mereka pada menit ke-10?

Pertama mari kita cari turunan f(x).

f’(x) = 10x; ini adalah rumus kecepatan.

Maka kecepatan pada menit ke-10 adalah
f’(10) = 10.10 = 100 km/menit

Kecepatan pada menit ke-15, 20, 25?

f’(15) = 10.15 = 150 km/menit
f’(20) = 10.20 = 200 km/menit
f’(25) = 10.25 = 250 km/menit

Mudahkan?

Kalkulus memang hebat!

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 3 Komentar

Ditulis pada APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Di-tag , , , ,

Latihan Berhitung Cepat Limit

Posted on November 24, 2009 | 2 Komentar

Semakin banyak berlatih akan semakin mahir. Tahap demi tahap, Paman APIQ menyiapkan berbagai macam latihan untuk Al, Geo, Meti.

Untuk latihan berhitung cepat limit, Paman APIQ menyusun beberapa pendekatan: pengenalan (0/0) dan pengenalan (~/~).

1.
\lim_{x \to 5}\frac{x^2 - 2x - 15}{x - 5}

Jawab:

Langkah pertama dari penyelesaian limit adalah substitusikan, nilai x = 5. Maka kita peroleh:

\frac{5^2 -2.5 - 15}{5 - 5}
= 0/0

Bentuk 0/0 adalah bentuk tak tentu. Karena itu kita perlu memanfaatkan limit untuk menentukan nilai dari bentuk tak tentu tersebut.

Langkah kedua, adalah menghilangkan pembuat 0/0.

Dalam contoh kita, tampak jelas pembuat 0/0 adalah adanya (x – 5).

Jadi kita harus mengubah bentuk di atas menjadi :

\frac{f(x).(x - 5)}{x - 5}

Untungnya tugas tersebut tidak terlalu sulitkan?

Kita memperoleh:

\frac{(x + 3)(x - 5)}{x - 5}

= x + 3.

Langkah ketiga, substitusikan lagi x = 5. Maka kita peroleh:

x + 3 = 5 + 3 = 8 (Selesai)

Bolehkan kita menggunakan dalil L’Hospital?

Tentu boleh! Mengapa?

Karena bentuk 0/0.

\lim_{x \to 5}\frac{x^2 - 2x - 15}{x - 5}

Turunkan pembilang dan penyebutnya, kita peroleh:

\frac{2x - 2}{1}
= 2.5 – 2 = 8 (Selesai).

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)
*bersambung

→ 2 Komentar

Ditulis pada APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Di-tag , , , , ,

Permainan Pikiran Memahami Kalkulus Limit (bag.1)

Posted on November 12, 2009 | 1 Komentar

Hari ini keluarga APIQ bergembira. Tante Lim yang sudah lama pergi ke luar kota kini kembali berkumpul dengan keluarga besar APIQ.

Tante Lim orangnya sederhana. Suka memandang sesuatu sampai hal sekecil-kecilnya. Al, Geo, Meti sering terperangah dengan berbagai macam cara berpikirnya Tante Lim. Sedangkan Paman APIQ senang-senang saja dengan beragamnya cara berpikir tersebut.

“Tante punya pertanyaan nih…” Tante Lim membuka percakapan.
“Asyik…!” Sahut Al, Geo, Meti.

“Berapakah 10:2 ?”
“5.”

“Berapakah 10:10?”
“1.”

“Berapakah 10:100?”
“0,1.”

“Berapakah 10:1000?”
“0,01.”

“Berapakah 10:1.000.000?”
“0,00001.”

“Hasilnya makin kecil ya Tante ya…?” tanya Meti.
“Betul. Bila pembaginya semakin besar maka hasil baginya semakin kecil.”

Bilangan yang sangat kecil, mendekati 0, dalam konsep limit kita sebut sebagai 0.
Bilangan yang sangat besar, lebih besar dibanding bilangan lain, dalam limit kita sebut sebagai tak hingga = ~.

Al, Geo, Meti mengangguk-anggukkan kepala. Berusaha memahami maksud Tante Lim. Paman APIQ hanya mendengar sambil senyum-senyum dan buka-buka buku.

“Jadi, bilangan kecil 0,00001 bisa kita anggap = 0,” kata Tante Lim.
“Mengapa begitu?” Al tampak sulit menerima.

“Yuk… kita coba bermain dengan contoh,” ajak Tante Lim.
“Siap!”

Misal kita punya beras 10 kg. Kita akan membagi beras tersebut kepada penduduk sama rata. Berapa kg beras yang diterima masing-masing penduduk bila…

“Dibagikan kepada 1 orang?”
“10 kg,” Geo langsung menyahut.

“Dibagikan kepada 10 orang?”
“1 kg.”

“Dibagikan kepada 100 orang?”
“0,1 kg.”

“Dibagikan kepada 1.000 orang?”
“0,01 kg.”

“Dibagikan kepada 1.000.000 orang?”
“0,00001 kg.”

“Seberapa banyakkah 0,00001 kg itu?”

0,00001 kg = 0,01 gram.

Beras sebanyak 0,01 gram tersebut adalah sangat kecil. Karena sangat kecil maka kita dapat meyebutnya sebagai 0. Tidak terasa bila kita masak kan?

“O…begitu….” Al mulai memahami.

“Karena 1.000.000 orang adalah bilangan yang besar maka boleh kita sebut sebagai tak hingga?” Geo penasaran.
“Betul!”

“Jadi….” Meti mulai menyimpulkan.

10/~ = 0

“Betul.”

“Bolehkah saya balik…” Al makin aktif.

10/0 = ~

“Boleh. Memang begitu.”

“Bagaimana dengan bilangan yang lain?” tanya Geo.
“Maksud kamu?” Tante Lim balik bertanya.

“Misal,

7/~ = …?
9/~ = …?”

“Aku tahu, aku tahu….” kata Geo sendiri.
“Sama saja kali ya….”

7/~ = 0
9/~ = 0
100/~ = 0

“Kalian memang anak yang cerdas,” komentar Tante Lim.

Bagaimana dengan,

~ + 7 = ….
~ – 5 = ….

Mereka terus bermain-main asyik dengan konsep dasar limit.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 1 Komentar

Ditulis pada APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Di-tag , , ,

Konsep Berhitung Kecepatan Dalam Matematika

Posted on November 10, 2009 | 1 Komentar

Konsep kecepatan pada dasarnya adalah bidang pembahasan disiplin fisika. Tetapi matematika berperan penting dalam hal ini. Tetapi pendidikan di kita tampaknya campur aduk dalam mempelajari konsep kecepatan.

Misal, matematika SD kelas 5 sudah mulai mempelajari konsep kecepatan. Sedangkan disiplin fisika baru mempelajari konsep kecepatan pada kelas 1 SMA.

Jadi bagaimana caranya anak kelas 5 SD mempelajari fisika kelas 1 SMA?

Mari kita lihat pelajaran fisika kelas 1 SMA. Memang ketika kelas 1 SMA konsep kecepatan berkembang lebih luas. Kecepatan rata-rata, kecepatan sesaat, kecepatan sudut dan lain-lain. Menariknya ketika siswa kelas 1 SMA belajar kecepatan maka mereka membutuhkan konsep kalkulus (limit, turunan, integral). Sedangkan disiplin matematika baru mempelajari kalkulus integral pada kelas 3 SMA.

Memang terbalik-balik!

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 1 Komentar

Ditulis pada APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Di-tag , ,

Belajar dan Bermain Limit (Kalkulus) Bersama Google

Posted on September 28, 2009 | 2 Komentar

Paman APIQ memang tiada henti-hentinya bereksperimen meng-inovasi pembelajaran matematika kreatif.

Sebelumnya, Paman APIQ bertemu dengan integrator online. Kali ini, Paman APIQ mencoba memanfaatkan google.com untuk belajar limit.

Misal kita akan menghitung

\lim_{x\rightarrow\infty} \sqrt[]{x^2 + 5x} - \sqrt[]{x^2 - 7x}

Tentu kita dapat menghitung nilai limit di atas dengan teori limit. Kita juga dapat membuktikan kebenaran hitungan kita dengan teori limit dengan notasi delta.

Tetapi ada yang yang terlewatkan. Apakah yang terlewatkan tersebut?

Justru yang terlewatkan adalah hal yang paling penting yaitu logika atau nalar anak didik kita.

Apa makna dari limit di atas?
Misal kita menemukan jawaban akhir adalah a, apa arti dari a ini?
Apakah anak didik kita memiliki sense atau intuisi suatu jawaban tertentu adalah tidak mungkin?

Paman APIQ mengusulkan cobalah bermain-main dengan dengan google.com. Web google dapat berperan sebagai kalkulator cerdas.

Kembali ke soal limit kita. Nilai x menuju tak hingga maksudnya adalah x bernilai besar sekali. Berapakah besar sekali tersebut?

Besar sekali dapat saja seribu, sejuta, atau semilyard. Mari kita ambil besar sekali adalah x = 99.999.

Coba ketik ke google lalu enter persamaan berikut:

(99999^2 + 5*99999)^(1/2) – (99999^2 -7*99999)^(1/2)

Google memberi jawaban 6,00003. Jawaban yang tidak jauh dari hitungan teori limit. Dengan teori limit kita memperoleh jawaban:

(b – p)/2 akar(a) = (5 – (-7))/2.1 = 12/2 = 6.

Dengan permainan-permainan ini, menggunakan google atau kalkulator, teori limit yang abstrak dapat kita tampilkan menjadi tebak-tebakan yang menarik. Itulah harapan dan keyakinan Paman APIQ.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 2 Komentar

Ditulis pada APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Di-tag , , , , , ,

Pesona Matematika yang Mengagumkan: Konsep Limit

Posted on September 25, 2009 | 3 Komentar

Tidak hanya tokoh agama atau para spiritualis yang memiliki istilah transenden. Para matematikawan juga menggunakan istilah transenden.

Para ahli agama, umumnya, menggunakan istilah transenden untuk sesuatu yang tidak dapat diungkapkan dengan kata-kata. Misalnya, Tuhan memiliki sifat Maha Pemurah yang transenden. Pemurahnya Tuhan berbeda dengan pemurahnya manusia. Pemurahnya Tuhan tidak dapat diungkapkan dengan kata-kata, transenden.

Dalam dunia matematika, transenden biasa kita pakai untuk dua macam istilah. Pertama fungsi transenden yaitu fungsi yang hasilnya tidak dapat dinyatakan oleh input, variabel, atau anggota domainnya.

Contoh fungsi sinx adalah transenden. Kita tidak dapat mengungkapkan hasil sinx dengan memanipulasi atau mengolah input x. Kita ambil contoh sin 30 derajat = 1/2. Ternyata kita tidak dapat menyatakan 1/2 secara langsung hubungannya dengan 30 derajat. Fungsi sinx adalah fungsi transenden.

Kedua, bilangan transenden yaitu bilangan yang tidak dapat kita nyatakan dengan angka-angka. Bahkan tidak dapat kita nyatakan secara aljabar. Contoh bilangan pi = 3,14…. Tidak pernah dapat kita nyatakan secara tuntas. Bahkan rumus aljabar juga tidak dapat menyatakan pi. Pi adalah bilangan transenden.

Setiap bilangan transenden adalah irasional. Tetapi tidak setiap irasional adalah transenden. Akar 2 adalah bilangan irasional. Tapi bukan transenden. Akar 2 memang tidak dapat kita nyatakan dengan angka-angka. Tapi kita dapat menyatakan secara aljabar, x^2 = 2. Solusinya adalah akar 2.

Contoh bilangan transenden lagi adalah e. Kita tidak dapat menyatakan bilangan e dengan angka-angka. Dengan rumus aljabar pun kita juga tidak bisa. Umumnya kita mendefinisikan e dengan konsep kalkulus (limit, turunan, dan integral). Bilangan e adalah bilangan transenden.

Paman APIQ beberapa kali berdiskusi dengan para guru matematika SMA.
“Berapakah tak hingga kali nol?” tanya Paman APIQ.
Beberapa orang menjawab tak hingga. Yang lain menjawab nol. Yang jelas mereka ragu-ragu dengan jawaban mereka.

“Berapakah tak hingga dibagi tak hingga?” Paman APIQ memancing diskusi lagi.
Ada yang menjawab satu. Ada yang tak hingga. Ada juga yang nol. Lagi-lagi mereka ragu-ragu dengan jawaban mereka.

Menariknya, bila Paman APIQ mengganti pertanyaan dengan contoh soal hitungan limit, mereka langsung dengan pasti dapat menjawab contoh soal hitungan tersebut. Sedangkan bila pertanyaan konsep limit maka mereka ragu-ragu.

“Berapakah satu pangkat tak hingga?” Paman APIQ mengajukan diskusi lagi.

Maksudnya 1x1x1x1x1….. sampai tak hingga (dengan konsep limit)?

Ada yang menjawab tetap 1. Hal ini benar bila kita tidak bicara limit. Tetapi bila bicara limit, pengertian 1 adalah mendekati 1, seperti 1,001 pangkat tak hingga.

Umumnya para guru menebak-nebak dan masih jauh dari harapan. Tidak masalah. Soal kita ini akan memunculkan bilangan transenden. Yaitu e. Bilangan e justru sangat mempesona. Mengapa tidak terlalu mendapat banyak pethatian?

Hampir dalam setiap matematika terapan yang akurat dan teliti selalu menggunakan bilangan e. Dari rekayasa sampai ekonomi semua memanfaatkan bilangan transenden e.

Secara matematis, fungsi e ( f(x)=e^x ) juga memiliki pesona istimewa. Turunan e^x adalah tetap e^x. Demikian juga integral e^x adalah tetap e^x.

Jadi, apakah bilangan e itu?

Ada banyak definisi e. Salah satu definisi yang saya sukai adalah definisi dengan limit. Hitunglah h menuju 0 untuk limit

(1 + h)^{(1/h)}

*bersambung

→ 3 Komentar

Ditulis pada APIQ

Di-tag , , , ,

(Bag.6) Semakin Canggih dengan Integral Parsial Tingkat 2

Posted on September 15, 2009 | 3 Komentar

Al, Geo, Meti, masih tercenung dengan kehebatan integral parsial. Hebat, canggih, dahsyat itulah integral parsial.

Pada saat bersamaan integral parsial tidak selalu mudah. Kadang-kadang memang mudah. Di saat yang lain integral parsial perlu berulang beberapa kali. Paman APIQ menyebutnya sebagai integral parsial tingkat 2.

Paman APIQ pantang menyerah. Ia terus berusaha untuk menampilkan integral parsial dengan mudah, sederhana, dan kreatif.

Untungnya, kalkulus telah menyediakan apa yang diperlukan Paman APIQ: fungsi eksponen asli. Integral atau diferensial dari fungsi eksponen asli tetap menghasilkan dirinya sendiri.

“Paman APIQ, tolong dong diulang lagi tentang integral parsial yang kemarin,” Al meminta.
“Memang mengapa?” Paman APIQ balik tanya.
“Biar lebih mantap! Gitu lho…” sahut Meti.

Bentuk umum integral parsial adalah:

\int u.dv = u.v - \int v.du

Bila \int v.du mudah dihitung maka jenis integral parsial tingkat 1.

Contoh:

\int x.e^x dx = .... .... ....

= x.e^x - \int e^x dx

= x.e^x - e^x (Selesai).

Tetapi bila \int v.du harus dihitung menggunakan integral parsial lagi maka masuk pada jenis integral parsial tingkat 2 atau lebih.

Contoh:

\int x^2.e^x dx = .... .... ....

“Apakah kalian sudah siap?” tanya Paman APIQ.
“Siap…!” sahut Geo.
“Siapa takut…!” Al dan Meti menimpali.

\int x^2.e^x dx = x^2.e^x - \int e^x.2x dx

Sedangkan integral v.du

\int e^x.2x dx =

\int 2x.e^x dx = 2x.e^x - \int e^x.2 dx

= 2x.e^x - 2.e^x

Substitusi ke integral awal, maka

\int x^2.e^x dx = x^2.e^x - (2x.e^x - 2.e^x )
= x^2.e^x - 2x.e^x + 2.e^x (Selesai).

Atau

= e^x (x^2 - 2x + 2) (Selesai).

“Aku juga bisa kalau begitu Paman,” Geo agak yakin.

Coba yang ini…

\int 3x^2.e^x.dx = ... ... ...

“Hasilnya adalah….” jawab Geo.

= e^x (3x^2 - 6x + 6)

“Betul. Hebat Kamu Geo,” seru Paman APIQ.
“Siapa dulu dong, gurunya….hehehe….” Geo terkekeh.

“Aku juga bisa,” Meti berseru.
“Coba yang ini….” kata Paman APIQ.

\int 5x^2.e^x.dx = ... ... ...

“Hasilnya adalah….” jawab Meti.

= e^x (5x^2 - 10x + 10)

“Hehehe….bisa juga kalian!”

“Sekarang aku, Paman,” Al tidak mau ketinggalan.
“Coba yang ini….” kata Paman APIQ.

\int 7x^2.e^x.dx = ... ... ...

“Hasilnya adalah….” jawab Al.

= e^x (7x^2 - 14x + 14)

“Betul….!”

Mereka terus bermain-main dengan integral parsial yang asyik.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)
*Bersambung
*Klik di sini untuk lihat PETA PIKIRAN integral parsial

→ 3 Komentar

Ditulis pada APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Di-tag , , , , , , ,