Arsip Tag: geometri

Menambah Dimensi Menambah Kecerdasan Anak Anda

Hanya menambahkan permainan dalam matematika maka Anda sudah berhasil menambah kecerdasan anak Anda. Bahkan bukan hanya menambah kecerdasan, Anda telah berhasil melipat gandakan kecerdasan anak Anda.

Permainan atau game matematika adalah dimensi baru dalam belajar matematika. Tidak mudah orang memahami bahwa anak-anak akan belajar cepat matematika melalui permainan. Tetapi siswa-siswa kita memang mampu belajar cepat dengan media game matematika. Dunia anak-anak adalah dunia bermain.

“Paman APIQ berjalan 10 meter ke selatan lalu 10 meter ke timur lalu 10 meter ke utara. Bagaimana mungkin Paman APIQ sudah kembali ke titik berangkat semula?”

Dengan pemikiran umum, mestinya Paman APIQ masih berjarak 10 meter dari titik berangkat semula. Paman APIQ perlu melangkah 10 meter ke barat agar kembali ke titik mula.

Tetapi memang Paman APIQ sudah kembali ke titik mula dengan gerakan 10 meter ke selatan, 10 meter ke timur, dan 10 meter ke utara.

Karena titik mula Paman APIQ adalah kutub utara.

Banyak orang masih sulit memahami kejadian Paman APIQ di atas. Tambahkan dimensi kelengkungan bumi maka kita akan dapat memahami dengan lebih baik.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ

Cara Belajar Matematika Kreatif yang Sensasional

Belajar matematika selama ini membosankan. Tetapi Paman APIQ telah merancang matematika yang mempesona, mengagumkan, dan sensasional. Tidak pernah berhenti, Paman APIQ dan seluruh tim terus melakukan riset untuk menemukan cara belajar matematika yang lebih kreatif dan sensasional.

Dalam forum training APIQ, salah satu yang menarik adalah proses belajar menarik akar kubik (akar pangkat 3). Peserta biasanya tidak pernah terbayangkan bahwa ia akan mampu menghitung

akar kubik dari 884.736 = … … …

Hanya beberapa menit belajar APIQ, seorang ibu rumah tangga pun akhirnya dapat menghitung akar kubik di atas hanya dengan melirik. Dan para ibu-ibu itu semakin kagum ketika mereka mencoba membuat latihan soal yang lebih rumit lagi. Tetapi mereka selalu berhasil menyelesaikan dengan baik.

Tentu saja, Paman APIQ memanfaatkan kekuatan matematika modern: matematika diskrit. Dengan pemahaman penuh Paman APIQ memperlakukan dengan adil bilangan bulat, irasional, atau bilangan lain. Dengan konsep matematika diskrit ini Paman APIQ mencoba merancang pengalaman belajar matematika yang lebih asyik lagi.

1. Berhitung cepat dengan lirikan dan tutup mata.

Paman APIQ sedang membuat beragam kartu berhitung cepat. Akar kubik dan akar kuadrat menjadi salah satu tema paling seru. Siswa yang telah terlatih dapat menjawab soal yang ada pada kartu hanya dengan melirik kartu tersebut. Padahal soal dalam kartu cukup sulit, misal:

akar kubik dari 531.441 = … … …

Di balik kartu ada tulisan kecil yang merupakan kunci jawaban. Setelah seorang anak menjawab maka pemegang kartu dapat mengecek apakah jawaban siswa tersebut benar atau salah.

Pada tingkat yang lebih mahir siswa tidak boleh melirik soal. Tetapi siswa tersebut dapat menjawab dengan mata tertutup. Pemegang kartu dipersilakan membacakan soal. Kemudian siswa dengan mata tertutup akan melakukan perhitungan dengan sangat cepat.

Sangat mengagumkan.

2. Geometri Pythagoras semakin mengagumkan.

Seorang wartawan bertanya ke saya,
“Bagaimana prospek bisnis kursus matematika?”
“Sangat bagus!” jawab saya.

Tetapi seperti kita lihat beberapa kursus aritmetika mulai gulung tikar? Memang berbeda! APIQ adalah kursus matematika sejati bukan sekedar kursus berhitung atau aritmetika saja. Jika kursus berhitung dengan alat memang dapat saja semakin pudar. Tetapi kursus matematika sejati seperti APIQ justru semakin dibutuhkan masyarakat modern.

Saat ini APIQ mulai mengembangkan sayap ke luar pulau Jawa yaitu ke Lampung. Sekitar dua tahun ke depan APIQ berencana akan membuka cabang di Singapura atau Kuala Lumpur. APIQ adalah matematika sejati yang mengajar aljabar, geometri, aritmetika dan perkembangan mutakhir matematika modern.

Teori Pythagoras adalah salah satu kajian dalam geometri segitiga siku-siku. Paman APIQ juga menyiapkan kartu-kartu permainan yang membuat anak-anak mampu menghitung teori Pythagoras ini hanya dengan lirikan bahkan dengan mata tertutup bagi yang mahir. Cobalah…pasti sangat mengagumkan.

3. Aljabar kreatif Otak Kanan dengan lirikan dan tutup mata

Agar lengkap, Paman APIQ juga menyiapkan latihan kartu aljabar. Proses umum eliminasi dan substitusi dapat kita sederhanakan dengan pendekatan kreatif otak kanan. Bagi anak yang mahir maka dapat menyelesaikan problem aljabar ini hanya dengan melirik dan akhirnya dengan tutup mata sekali pun.

Semua proses pembelajaran yang mengagumkan di atas dapat kita rancang karena mendasarkann matematika pada konsep matematika modern: matematika diskrit. Paman APIQ menghimbau agar para pendidik, guru, dan orang tua juga memanfaatkan konsep matematika diskrit dalam proses pembelajaran sehingga lebih menyenangkan. Matematika diskrit telah teruji semakin hebat dengan berkontribusi pada kemajuan teknologi komputer, teknologi digital, dan teknologi internet.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Berhitung Cepat Perbandingan yang Membingungkan

Sejak kecil, Geo merenung. Mengapa persegi yang berukuran 100 cm x 100 cm = 10.000 cm persegi menjadi setara dengan 1 meter persegi?

Mengapa 10.000 cm persegi tidak setara dengan 100 meter persegi?
Mengapa 1 meter persegi tidak setara dengan 100 cm persegi?

Renungan Geo ini memberi hasil kepada pemahaman perbandingan geometri yang sangat bagus. Perbandingan luas merupakan perbandingan kuadrat. Berbeda dengan perbandingan keliling. Perbandingan keliling adalah perbandingan langsung, linier. Sedangkan perbandingan volume adalah perbandingan kubik.

Sayangnya banyak orang yang menganggap semua perbandingan adalah perbandingan langsung atau linier. Paman APIQ prihatin dengan kenyataan ini. Paman APIQ kini sedang mencari cara bagaimana memperkenalkan konsep perbandingan yang tidak linier.

Kita beruntung karena memiliki permainan kubus milenium. Siswa-siswa APIQ dapat secara langsung eksperimen membuktikan perbandingan yang tidak linier dengan bermain kubus milenium.

Contoh soal:

Sebuah persegi memiliki panjang sisi = 2 cm. Bila panjang sisi dibuat 3 kali semula maka tentukan keliling dan luas persegi terakhir.

Jawab:

Keliling semula = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 cm

Keliling terakhir = 6 + 6 + 6 + 6 = 24 cm.

Kita perhatikan bahwa keliling terakhir = 3 x keliling semula. Perbandingan keliling adalah perbandingan linier. Umumnya kita dapat memahami kasus ini dengan baik. Bagaimana dengan luas?

Luas semula = 2 x 2 = 4 cm persegi

Luas terakhir = 6 x 6 = 36 cm persegi.

Kita perhatikan bahwa luas terakhir TIDAK = 3 x luas semula.

Tetapi,
luas terakhir = 3^2 x semula.

Jadi,perbandingan luas adalah perbandingan kuadrat, bukan perbandingan linier seperti diduga sebagian orang.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Berpikir Geometri Membantu Anak-anak Lebih Kreatif

Sayangnya, kita terlalu sering menghafal rumus belaka. Padahal berpikir geometri membantu anak-anak kita menjadi lebih kreatif.

Misalnya seorang anak disuruh menghitung berapa keliling bangun segienam beraturan yang panjang sisinya 2 cm?

“Rumus keliling apa ya?” anak itu balik bertanya.

Gubrak…! Betapa banyak rumus yang harus dihafal bila caranya seperti itu. Padahal dengan memahami konsep mengelilingi maka anak-anak akan lebih kreatif berpetualang.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat,

Menjadikan Anak Jago Matematika dari Aritmetika, Geometri, dan Aljabar

Pendekatan Paman APIQ melalui permainan matematika yang mengasah kecerdasan aritmetika anak-anak semakin berhasil. Algeometi dan anak-anak lain menjadi jago matematika. Mereka menemukan cara-cara kreatif yang asyik untuk mempelajari matematika.

Bagaimana dengan Anda?

Tantangan masih berlanjut. Ketika anak-anak terbiasa berpikir secara aritmetika tidak secara otomatis mereka terbiasa berpikir secara aljabar. Untungnya, berpikir geometri tampak lebih alamiah bagi anak-anak. Menghitung luas, keliling, dan volume menjadi tantangan yang menggelitik bagi anak-anak. Sedangan untuk berlatih aljabar memang perlu proses lanjutan.

Paman APIQ mencoba memilihkan tantangan aljabar yang masih berhubungan dengan aritmetika dan geometri.

Contoh soal:
Di dalam segitiga siku-siku yang panjang sisi tegak dan datar berturut-turut 3 dan 4 dibuat lingkaran yang menyinggung tiga sisi segitiga dengan jari-jari r. Tentukan panjang r.

Jawab:
Dengan mengamati gambar geometri dan perbandingan ukuran, Algeometi menebak r = 1. Tebakan yang bagus!

Paman APIQ mencoba mengenal langkah-langkah aljabar. Dengan mengamati gambar geometri kita dapat melihat segitiga-segitiga kongruen dan berlaku,

(3 – r) + (4 – r) = 5

7 – 2r = 5

2 = 2r

r = 1 (Selesai).

Contoh soal:
Di dalam segitiga siku-siku yang panjang sisi tegak dan datar berturut-turut 10 dan 24 dibuat lingkaran yang menyinggung tiga sisi segitiga dengan jari-jari r. Tentukan panjang r.

Jawab:

(10 – r) + (24 – r) = 26

34 – 2r = 26

34 – 26 = 2r

r = 4 (Selesai).

Contoh soal:
Di dalam segitiga siku-siku yang panjang sisi tegak dan datar berturut-turut 7 dan 24 dibuat lingkaran yang menyinggung tiga sisi segitiga dengan jari-jari r. Tentukan panjang r.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat….
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Contoh soal:

Lagi, Permainan Matematika Kreatif Pembuktian Gradien Garis Tegak Lurus

Sambil berdiskusi dengan keluarga besar APIQ, Paman melakukan beberapa eksperimen. Kali ini eksperimen Paman APIQ berupa permainan geometri membuktikan gradien garis sejajar atau yang tegak lurus.

Pertama anak-anak kita kenalkan konsep gradien adalah sebagai ukuran tanjakan. Semakin besar gradien maka akan semakin menanjak garis tersebut.

Bagaimana jika garisnya tidak menanjak? Garis tersebut malah turun ke bawah. Bila turun maka gradien bernilai negatif.

“Kamu punya kartu nama kosong?” tanya Paman APIQ.
“Siap, punya,” sahut Geo.
“Potonglah jadi dua bagian sesuai garis diagonal.”

“Kini kita punya dua segitiga siku-siku kan?”
“Betul, Paman,” kata Geo.

“Tuliskan panjang sisi masing-masing 15, 20, dan 25.”
“Tandai yang panjang 15 sebagai garis g dan panjang 20 sebagai garis h. Mereka berpotongan secara tegak lurus kan?”

Geo mengamati, “Betul.”
“Pasang yang panjang 25 secara mendatar horisontal atau anggap yang panjang 25 berimpit dengan sumbu X.”
“Lalu…” Geo masih ragu-ragu.

“Potonglah segitiga tersebut menjadi dua segitiga siku-siku menurut garis tinggi vertikal atau tegak.”

“Berapa gradien g dan h ?”

Geo masih berpikir.
Dapatkah Anda membantu Geo?

Dengan mengganti ukuran-ukuran di atas dengan variabel maka kita akan menemukan rumus umum yang berlaku.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Olimpiade Matematika Geometri dengan Kantong Ajaib

Kali ini kita akan berlatih imajinasi geometri. Saran Paman APIQ, silakan mempersiapkan pensil dan kertas untuk membantu imajinasi. Dalam olimpiade matematika kadang kita disediakan gambar. Kadang-kadang tanpa gambar sama sekali meski soal tentang geometri.

Contoh soal.

1. Sebuah persegi dibagi menjadi 3 persegi panjang yang kongruen. Jika keliling satu persegi panjang adalah 16 maka keliling persegi semula adalah….

2. Dua buah lingkaran berbeda berpusat di titik O. Dibuat garis singgung yang menyinggung lingkaran kecil dan memotong lingkaran besar di titik P dan titik Q. Jika panjang PQ = 14 maka tentukan luas lingkaran besar dikurangi luas lingkaran kecil.

Jawab:

Untuk soal pertama kita dapat mencoba Kantong Ajaib Paman APIQ.

Misal lebar = k maka panjang (sisi semula) = 3k

Keliling persegi panjang = 16 = k + 3k + k + 3k = 8k

k = 2

Sisi persegi semula = 3k = 6.

Keliling persegi semula = 3k x 4 = 12k = 24 (Selesai).

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Geometri Kubus Berbantuan Rubik Merah Putih

Seorang teman lulusan ITB bercerita bahwa dulu ketika SMA dia sulit menghitung geometri dimensi 3.

“Lalu bagaimana Kamu menghitung soal ujiannya?”
“Aku sudah hafal,” jawabnya sambil tertawa.
“Bagaimana Kamu bisa menghafalnya?”
“Dengan banyak latihan aku hafal sendiri. Jenis soalnya kan begitu-begitu saja.”

Bagaimana pun memori atau hafalan tetap penting bagi matematika. Meski memori saja tidak cukup untuk matematika. Paman APIQ memberi beberapa ide untuk menghafal matematika kreatif.

Kali ini Paman APIQ mengajak kita berdiskusi tentang geometri kubus.

Untuk tingkat SD, SMP, dan SMA geometri kubus menjadi langganan soal ujian.

“Ada berapa bidang sisi pada kubus?”
“Ada 6 bidang sisi,” jawab Geo mantap.
“Bagaimana Kamu tahu?”
“Ini aku bawa Rubik yang memiliki 6 warna masing-masing untuk tiap bidang.”
“Betul!”

Ujian Nasional SMP 2010 memunculkan soal,
“Ada berapa diagonal ruang pada sebuah kubus?”

Umumnya anak-anak akan menjawab dengan hafalan murni atau dengan menghitungnya satu demi satu.

Paman APIQ setuju dengan hafalan. Tapi plus dengan pemahaman.

Dalam setiap kubus terdapat 8 pojok. Untuk membentuk diagonal ruang kita perlu pasangan 2 pojok.

8 : 2 = 4 diagonal ruang

Silakan mencoba menemukannya…!

“Ada berapa diagonal bidang pada suatu kubus?”

Setiap bidang kubus memiliki 2 diagonal bidang. Kubus memiliki 6 bidang.

6 x 2 = 12 diagonal bidang.

“Bagaimana dengan bidang diagonal?”

Untuk membentuk bidang diagonal diperlukan pasangan 2 rusuk. Sedangkan kubus memiliki 12 rusuk. Jadi?

Kombinasi hafalan dan pemahaman akan berdampak positif untuk kemajuan siswa.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)
Bagaimana menurut Anda?

Beda Notasi Beda Arti: Berhitung Cepat dengan Notasi

Paman APIQ sudah dari dulu menekankan pentingnya notasi dan istilah. Apalagi kita orang Indonesia, sangat perlu mengembangkan notasi dan istilah yang sesuai dengan kondisi Indonesia.

Misal kemarin, Paman APIQ membaca suatu tulisan tentang lingkaran.

Pada sebuah lingkaran, dibuat titik A dan titik B. Sudut AOB adalah 90 derajat. Jika panjang busur AB = 55 maka berapakah jari-jari lingkaran? Titik O adalah pusat lingkaran.

Selanjutnya tulisan tersebut membahas persoalan di atas dengan cara yang umum kita pakai.

Perbandingan sudut = perbandingan busur

90/lingkaran = 55/keliling

90/360 = 55/(2. 22/7. r)

1/4 = 55/ (44/7. r)

Sampai di sini memang kita pasti akan berhasil menemukan nilai r = jari-jari. Tetapi akankah anak-anak kita berhasil menghitungnya?

r = 55/(44/7) . 4

= 55/44 . 7 . 4

= 5/4 . 7 . 4

= 5.7

= 35 (Selesai).

Anak-anak umumnya akan merasa takut duluan melihat proses berhitung semacam di atas. Apalagi bila anak-anak belum akrab dengan metode coret maka akan semakn rumit.

Mari kita coba istilah yang dikembangkan Paman APIQ. Sudah lama Paman APIQ mengenalkan satuan sudut adalah perbandingan busur dengan jari-jari = a/r. Zu Galo Usi tentu sangat akrab dengan istilah ini.

Zu Galo Usi sudah sering memanfaatkan kesamaan sudut,

180 derajat = Pi = 22/7

90 derajat = Pi/2 = 11/7

Bagaimana cara Zu Galo Usi menghadapi persoalan di atas?

Pada sebuah lingkaran, dibuat titik A dan titik B. Sudut AOB adalah 90 derajat. Jika panjang busur AB = 55 maka berapakah jari-jari lingkaran? Titik O adalah pusat lingkaran.

11/7 = 55/r

r = 5. 7 = 35 (Selesai).

Dengan notasi dan istilah yang tepat maka kita dapat memahami dan menyelesaikan masalah lebih elegan, kreatif, dan asyik.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…

(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Dari Kerajaan Aritmetika Menuju Kerajaan Aljabar

Matematika memiliki 3 kerajaan yang berbeda: aritmetika, geometri, dan aljabar. Mencampuradukkan tiga kerajaan itu dapat berakibat rumit bagi pendidikan dan pembelajaran matematika.

Paman APIQ sendiri, dari awal, menekankan pentingnya penguasaan aritmetika bagi anak-anak sejak usia dini. Sayangnya sering terjadi ketika anak-anak berpetualang di kerajaan aritmetika mereka menemukan masalah-masalah dari kerajaan aljabar.

Demikian juga ketika anak-anak asyik bermain geometri mereka juga sering dihadapkan kepada persoalan aljabar. Masalahnya, para guru dan penyusun materi sendiri kadang-kadang tidak mudah membedakan mana masalah aljabar dan mana masalah aritmetika.

Karena itu Paman APIQ mengusulkan agar kita membuat jembatan yang menghubungkan kerajaan aritmetika dengan kerajaan aljabar. Begitu juga kita perlu membangun jembatan yang menyatukan geometri dan aljabar. Sedangkan jembatan antara kerajaan aritmetika dan kerajaan geometri telah lama terbangun dengan baik.

2 + 3 = ….
2a + 3a = ….

4 + 5 = ….
4b + 5b = ….

4.4 = ….
a.a = ….

5.5 = ….
b.b = ….

(3.2)(5.2) = …
3a.5a = …

Dan masih banyak bata dan semen yang kita perlukan untuk membangun jembatan yang indah antara kerajaan aljabar, geometri, dan aritmetika.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)