Arsip Tag: creative math

Berhitung Cepat dengan Aljabar dan Aritmetika Kreatif

Posted on Januari 25, 2011 | 1 Komentar

Paman APIQ sering mengingatkan agar kita terbuka dengan berbagai macam sudut pandang. Ragam prespektif ini membantu kita untuk lebih kreatif. Misalnya ketika belajar aljabar kita harus terbuka dengan ide-ide geometri dan aritmetika. Begitu pula sebaliknya.

Berikut ini adalah sebuah contoh masalah, yang menurut Paman APIQ, sering dipandang sebaga aljabar. Tetapi sudut pandang aritmetika akan memberi banyak kemudahan.

Al mengendarai mobil dari Bandung menuju Cirebon dengan kecepatan tetap 40 km/jam. Pulangnya, dari Cirebon ke Bandung, Geo mengendarai mobil dengan kecepatan tetap 60 km/jam. Berapakah kecepatan rata-rata perjalanan pulang pergi di atas?

(Untuk sementara, di sini, kita menganggap kecepatan = laju semua dianggap besaran skalar seperti penggunaan sehari-hari).

Tebakan kita secara sekilas memberi jawaban kecepatan rata-rata = 50 km/jam. Apakah benar? Tetapi masuk akal juga.

Alternatif soal berikut menjadi lebih sederhana:

Al mengendarai mobil dengan kecepatan tetap 40 km/jam selama 22/7 jam. Kemudian dilanjutkan oleh Meti dengan kecepatan tetap 60 km/jam selama 22/7 jam. Berapakah kecepatan rata-rata perjalanan di atas?

Jawaban yang tepat kecepatan rata-rata = 50 km/jam.

[40(22/7) + 60(22/7)] : [2 (22/7)] = 50.

Agar lebih mudah kita dapat mengabaikan bilangan 22/7.

Mari kembali ke soal semula….

Al mengendarai mobil dari Bandung menuju Cirebon dengan kecepatan tetap 40 km/jam. Pulangnya, dari Cirebon ke Bandung, Geo mengendarai mobil dengan kecepatan tetap 60 km/jam. Berapakah kecepatan rata-rata perjalanan pulang pergi di atas?

Jawaban:

Cara Aljabar:

Kita akan mengasumsikan jarak Bandung Cirebon = J

Waktu berangkat = B = J/40

Waktu pulang = P = J/60

Maka kecepatan rata-rata = total jarak / total waktu

= (J + J)/(J/40 + J/60)

Dengan ketelitian kita akan memperoleh hasil perhitungan di atas.

Cara Aritmetika:

Anggap saja jarak Bandung Cirebon = 120 km. Maka:

Waktu berangkat = B = 120/40 = 3
Waktu pulang = P = 120/60 = 2

Kecepatan rata-rata = total jarak/total waktu

= (120 + 120)/(3 + 2) = 48 km/jam. (Selesai).

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 1 Komentar

Ditulis pada APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Di-tag , , , , , ,

Berhitung Cepat Perkalian 11 Makin Mempesona

Posted on Januari 24, 2011 | 2 Komentar

Perkalian 11 memang hebat dan makin mempesona. Caranya sederhana, tinggal tambah-tambahkan saja menurut Paman APIQ.

Ketika berhubungan dengan geometri lingkaran kita banyak memanfaatkan perkalian 11 karena menggunakan pi = 22/7.

Dalam kehidupan sehari-hari kita juga sering memanfaatkan perkalian 11 ketika akan membayar di kasir dan kena pajak 10%.

Pajak 10% + harga 100% = 110% = 1,1.

Meti membeli buku seharga 25 ribu dan pajak 10%. Berapa yang harus dibayar oleh Meti?

Jawab:
25 x 1,1 = 27,5 ribu

Geo membeli sepatu seharga 135 ribu dan pajak 10%. Berapa yang harus dibayar Geo?

Jawab:
135 x 1,1 = 148,5 ribu

Al membeli pensil seharga 7 ribu dan tas seharga 74 ribu. Bila pajak 10% berapa yang harus dibayar Al?

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 2 Komentar

Ditulis pada APIQ

Di-tag , , ,

Tantanagan Behitung Cepat Aljabar

Posted on Januari 24, 2011 | 1 Komentar

Beberapa tantangan aljabar akan membuat kita berpikir lebih kreatif. Paman APIQ telah menyusun beberapa tantangan aljabar ini untuk Anda.

1. Jumlah dari dua bilangan adalah 9 sedangkan hasil kalinya adalah 6. Maka jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut adalah…

2. Jumlah dari dua bilangan adalah 7 sedangkan hasil kalinya adalah 18. Maka jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut adalah…

3. Jumlah dari dua bilangan adalah 7 sedangkan hasil kalinya adalah 12. Maka jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut adalah…

Tantangan nomor 3 tampaknya paling mudah kita tebak.

p + q = 7
p.q = 12

p = 3, q = 4

sehingga,

1/p + 1/q = 1/3 + 1/4

= 4/12 + 3/12 = 7/12 (selesai).

Jadi, jumlah kebalikan = 7/12.

Hasil akhir ini memberi petunjuk yang menarik. Paman APIQ telah sering menganjurkan agar Algeometi dan kita dengan senang hati mengenali pola.

3.
(7 , 12) ===> 7/12

2.

(7 , 18) ===> …..

1.

(9 , 6) ===> …..

Bagaimana menurur Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 1 Komentar

Ditulis pada APIQ

Di-tag , , ,

Sulapan Matematika: Latihan Berhitung Cepat Pembagian dan Perkalian

Posted on Januari 22, 2011 | Tinggalkan Komentar

“Geo, Kamu suka angka berapa?” tanya Paman APIQ.
“7,” jawab Geo.

Paman APIQ menulis sesuatu pada sesobek kertas, melipatnya, dan memberikannya pada Geo.

“Kakaknya 7 berapa?”
“8.”

Paman APIQ menuliskan,

78

100 – 67 = ?

“33,” jawab Geo.

Paman APIQ menuliskan,

78
3367
———x

“Kalikan bilangan di atas,” perintah Paman APIQ.
“Pakai kalkulator?”
“Silakan…”
“Pakai Bintang saja ah…cuma Bintang 2 kok.”

78
3367
———x
262.626

“Sekarang buka lipatan kertas yang ada di tanganmu,” perintah Paman APIQ.
Geo membuka kertas itu bertuliskan:

262.626

“Wow…bagaimana bisa begitu?”

Tentu saja Algeometi dapat mengamati pola-pola yang indah dari perhitungan bilangan-bilangan di atas.

78 ===> 262626
75 ===> 252525
63 ===> 212121

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Ditulis pada APIQ

Di-tag , , , ,

Berhitung Cepat dengan Otak Kanan Kreatif APIQ

Posted on Januari 22, 2011 | Tinggalkan Komentar

Paman APIQ punya cerita nih…dapatkah Anda membantu?

Seorang guru yang waktunya mengajar matematika tiba-tiba dipanggil kepala sekolah. Guru tersebut mendapat tugas yang penting dan mendadak. Tetapi Ia tidak mau meninggalkan muridnya di kelas tanpa mendapat pelajaran matematika.

Sebelum meninggalkan kelas guru itu memberi tugas untuk diselesaikan secara berkelompok.

“Pada pertandingan sepak bola piala dunia 2050 setiap negara diijinkan mengirimkan timnya lebih dari 1. Ternyata terdapat 2048 tim yang akan bertanding. Berapa banyak pertandingan yang diperlukan untuk menghasilkan satu juara dengan sistem gugur?”

Guru itu lalu pamit meninggalkan kelas untuk sementara. Anak-anak dengan sibuk mencoba menyelesaikan persoalan di atas.

Dapatkah Anda membantu mereka?

Cara 1:

Gunakan coba-coba lalu hitung:
Babak 1 ===> 2048/2 ===> 1024
Babak 2 ===> 1024/2 ===> 512
…..
Babak final ===> 2/2 ===> 1

Jumlahkan semua bilangan di sebelah kanan maka akan kita temukan banyaknya pertandingan.

Cara 2.

Gunakan rumus deret geometri.

1024 + 512 + …. + 1 = ….

Tetapi umumnya anak-anak lebih mudah bila rasio, pembanding, r lebih dari 1.

1 + 2 + 4 + ….. + 1024 = ….

Tentu saja kita perlu mengetahui n lebih dulu kan?

Cara 3.

Gunakan cara kreatif APIQ dengan mengenali pola.

1 + 2 = 3
1 + 2 + 4 = 7
1 + 2 + 4 + 8 = 15

1 + 2 + 4 + ….. + 1024 = ???

Cara 4.
Gunakan cara berpikir terbalik otak kanan yang kreatif sesuai saran Paman APIQ.

2048 tim = 1 juara + 2047 pecundang

Setiap pecundang hanya kalah 1 kali lalu gugur.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat….
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Ditulis pada APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Di-tag , , , , , , , ,

APIQ Kreatif: Berhitung Cepat Pembagian dan Sisa

Posted on Januari 21, 2011 | 1 Komentar

Karena sangat senang, Algeometi membuat tulisan yang panjang secara berulang:

APIQkreatifAPIQkreatifAPIQkreatif…

Melihat tulisan tersebut Paman APIQ bertanya,

“Huruf apakah yang terletak pada urutan ke:
7,
44,
45?”

Tampak jelas huruf ke-7 adalah e.
Huruf ke-44 adalah f.
Huruf ke-45 adalah A.

Huruf apakah yang terletak pada urutan ke:

143,
167,
12345?

Jawab:
ke-143 adalah f.
ke-167 adalah (7+1 – 6 = 2) = P
ke-12345 adalah (5+3+1 – 4 -2 = 3) = I.

Bagaimana dengan huruf pada urutan ke:
212,
234,
2011,
2012,
212.212?

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)
Bagaima

→ 1 Komentar

Ditulis pada APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Di-tag , , , , ,

Ide-ide Penting dalam Math Kreatif EINSTEIN

Posted on Desember 27, 2010 | Tinggalkan Komentar

Banyak sekali ide-ide penting dan menarik dalam buku Math Kreatif EINSTEIN. Tetapi kali ini Paman APIQ ingin menuliskan tiga ide saja yang paling penting di antara ide-ide penting tersebut.

1. Math Pictorial (visual) persamaan garis. Ide ini akan membantu anak-anak kita belajar konsep persamaan garis dengan mudah dan menyenangkan. Karena gambar bermakna 1000 kata maka math pictorial aljabar garis ini memberi 1000 jalan bagi anak kita untuk menguasai aljabar garis.

2. Math Pictorial eliminasi-substitusi aljabar. Seperti kita ketahui bahwa teknik eliminasi adalah teknik yang paling penting dalam pemecahan masalah sistem aljabar. Dalam buku EINSTEIN ini Paman APIQ mengenalkan konsep eliminasi dengan math pictorial. Lagi-lagi gambar ini akan memberi anak-anak kita 1000 jalan untuk memahami konsep eliminasi dengan lebih baik.

3. Pembuktian luas lingkaran = luas segitiga. Tentu saja rumus luas = 1/2 alas x tinggi lebih mudah bagi kita untuk menghitung luas lingkaran. Dalam buku EINSTEIN ini Paman APIQ bahkan menguraikan langkah-langkah pembuktian rumus di atas dengan meminjam beberapa teori kalkulus. Setelah yakin dengan keabsahannya maka kita dengan mudah akan memanfaatkan rumus 1/2 alas x tinggi untuk menghitung cepat luas sektor lingkaran.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Ditulis pada APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Di-tag , , , , ,

Matematika Lebih Kreatif dengan Pendekatan CPA Math Singapore

Posted on Desember 16, 2010 | 1 Komentar

Secara internasional, matematika Singapura memperoleh pengakuan luas. Beberapa kali math singapore ini menduduki peringkat tertinggi dalam ukuran TIMMS.

Pendekatan khusus apakah yang terdapat pada math Singapore?

Menurut Paman APIQ, salah satu yang paling istimewa adalah pendekatan CPA – concrete, pictorial, abstract.

CPA juga menantang kita untuk lebih kreatif.

Concrete atau nyata berusaha mengenalkan konsep matematika dengan sesuatu yang konkrit. Misalnya Paman APIQ telah menyiapkan onde milenium, kubus milenium, mutiara milenium yang konkrit untuk belajar matematika kreatif.

Pictorial menampilkan matematika secara gambar-gambar menarik. Paman APIQ juga sudah menyiapkan gambar-gambar bintang artimetika yang seru. Bintang setara lebih menarik lagi. Kantong ajaib aljabar tentu saja sangat menarik. Konsep Adam Hawa sangat membantu dalam belajar persamaan garis.

Abstrak memang menampilkan matematika dengan gaya berpikir tingkat tinggi. Tentu saja beragam bentuk persamaan matematika menjadi sangat berguna dalam tahap ini.

Sebagaimana Paman APIQ sering menyebutkan, APIQ lebih aktif lagi mengembangkan permainan-permainan matematika kreatif khas yang seru. Sehingga CPA juga harus berada dalam kerangka kreatif.

Lebih lanjut lagi, APIQ juga mengembangkan matematika kreatif untuk tingkat SMP dan SMA bahkan pre-university. Jadi dengan APIQ kita dapat secara kreatif bertualang matematika sampai tingkat pre-university. Pasti seru!

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 1 Komentar

Ditulis pada APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Di-tag , , , , ,

Rumus Cepat Sulapan Matematika Kreatif Deret

Posted on Desember 3, 2010 | 2 Komentar

Paman APIQ banyak bermain-main sulap bersama Algeometi. Tentu saja anak-anak senang dengan ragam permainan sulap matematika. Tetapi bukan sebarang sulap. Ini adalah sulap yang membantu anak-anak belajar matematika kreatif.

“Meti, Kamu suka angka berapa?” tanya Paman APIQ.
“3 aja deh…”
“Geo suka angka berapa?”
“5 pasti mantap!”

“Mari kita tuliskan…”
“Aku belum ditanya,” protes Al.
“Sudah Kamu bagian menghitungnya saja,” sahut Paman APIQ.

1. 3 (Pilihan Meti)
2. 5 (Pilihan Geo)
3. 8 ( dari 5 + 3)
4. 13 ( dari 8 + 5)
5. 21
6. 34
7. 55
8. 89
9. 144
10. 233

“Jumlahkan seluruh bilangan di atas,” perintah Paman APIQ.

Algeometi sibuk menjumlahkan bilangan-bilangan di atas. Paman APIQ langsung menulis angka 605. Setelah beberapa saat Algeometi menemukan jawaban dari jumlah bilangan-bilangan di atas adalah … = 605.

“Lho Paman APIQ kok bisa berhitung begitu cepat?”
“Namanya saja sulap matematika kreatif. Pasti hebat kan…”

Paman APIQ dapat berhitung begitu cepat karena telah mengenali sifat-sifat deret Fibonacci. Dapatkah Anda menemukan kehebatan deret Fibonacci di atas?

Selanjutnya, Paman APIQ hendak mengenalkan deret aritmetika – sebuah deret yang sangat sederhana dan seru.

“Al, Kamu suka angka berapa?”
“7 saja deh…”
“Meti suka angka berapa?”
“11 boleh kan?”

Mari kita tuliskan…

1. 7 (Pilihan Al)
2. 11 (Pilihan Meti)
3. 15 ( dari 11 + 4)
4. 19 ( dari 15 + 4)
5. 23
6. 27
7. 31
8. 35
9. 39
10. 43
11. 47

“Jumlahkan semua bilangan di atas,” perintah Paman APIQ sambil menulis angka 297.

Algeometi penasaran menjumlahkan semua bilangan di atas dan hasilnya … = 297.

Mengapa Paman APIQ dapat berhitung begitu cepat?

Tentu saja Paman APIQ sudah mengenal sifat-sifat deret aritmetika. Kita juga dapat berhitung dengan sangat cepat bila mengenal deret aritmetika dengan baik.

Bila banyaknya suku genap maka kita akan mudah menghitung jumlah dari deret aritmetika dengan rumus intuitif,

S = (U1 + Un) n/2

Contoh:
1 + 2 + 3 + …. + 20 = (1 + 20).10 = 210 (Selesai)

Bila banyaknya suku adalah ganjil kita dapat menghitung dengan rumus intuitif suku tengah,

S = (Ut).n

Contoh:
1 + 2 + 3 + …. + 20 + 21 = 11.21 = 231 (Selesai)

Dua rumus jumlah di atas berlaku umum dan dapat saling dipertukarkan. Tetapi pemanfaatan yang tepat akan membuat lebih hebat dan dahsyat.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pediri APIQ)

→ 2 Komentar

Ditulis pada APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Di-tag , , , , , ,

Soal Cerita SD Kelas 5: Dasar-dasar Aljabar

Posted on Juni 10, 2010 | 3 Komentar

Disiplin aljabar sangat penting bagi putra-putri kita. Paman APIQ pernah terbersit, bagaimana jika memasukkan aljabar dalam kurikulum SD? Ah… bukankah kurikulum SD kita sudah sangat tinggi dibanding kurikulum negara maju?

Kenyataannya, keterampilan dasar aljabar sudah diujikan kepada anak-anak SD bahkan sejak kelas 1. Semakin tinggi kelas maka semakin rumit keterampilan aljabar yang dibutuhkan.

Sekedar contoh aljabar yang muncul di SD kelas 1:
(1)
n + 2 = 5
n = …

Contoh aljabar yang kelas 4,
(2)
Jika luas dari suatu persegi panjang adalah 20 cm persegi dan panjang adalah 5 cm maka berapakah keliling persegi panjang tersebut?

Contoh aljabar lagi untuk kelas 5 atau kelas 6,
(3)
Perbandingan kelereng Al dan Geo adalah 3:4. Jika Al memiliki 57 kelereng maka berapakah seluruh kelereng yang dimiliki Al dan Geo?

Contoh-contoh soal di atas memerlukan keterampilan aljabar untuk menyelesaikannya. Dan masih banyak contoh soal cerita untuk SD yang membutuhkan keterampilan aljabar.

Apa yang dilakukan para siswa atau guru untuk menyelesaikan soal-soal di atas?

1. Coba-coba. Cara coba-coba adalah sah dan benar. Khususnya untuk soal sederhana kita dapat dengan mudah mencobanya. Untuk soal nomor (1) di atas kita dapat mencobanya,

n + 2 = 5
coba n = 2 maka 2 + 2 = 4;
coba n = 3 maka 3 + 2 = 5; (benar; selesai).

Sedangkan untuk soal seperti nomor (2) dan (3) cara coba-coba mulai agak sulit.

2. Keterampilan substitusi. Selama ini kita mengajarkan teknik substitusi mulai siswa SMP. Apakah layak substitusi kita ajarkan untuk anak SD?

3. Keterampilan menyederhanakan persamaan. Untuk dapat melakukan substitusi anak-anak perlu memanipulasi persamaan agar lebih sederhana.

n + 2 = 5
n = 5 – 2
n = 3

Bagaimana kita mengajarkan keterampilan tersebut?

Untuk contoh soal nomor (2),

p x l = 20
l = 20/p
l = 20/5
l = 4

Kemudian melakukan substitusi pada persamaan keliling,

K = 2p + 2l
K = 2.5 + 2.4
K = 10 + 8
K = 18 (Selesai)

Nah… bagaimana cara kita mengajarkan keterampilan substitusi dan manipulasi aljabar tersebut?

4. Keterampilan menguji jawaban akhir. Keterampilan menguji jawaban kadang terlewatkan. Padahal menguji jawaban justru menjadi langkah terpenting. Setelah seorang siswa mengerjakan berbagai macam tugas, pertanyaan akhirnya, apakah jawaban ini sesuai dengan yang dibutuhkan?

5. Pemodelan matematika. Membuat model matematika atau lebih sederhananya membuat kalimat matematika adalah dasar untuk menyelesaikan masalah.

Contoh untuk soal nomor (3)
A/G = 3/4
4A = 3G
A = 3/4 G atau G = 4/3 A

A = 57

Maka,

A + G = 57 + G
=57 + 4/3 A
= 57 + 4/3 57
= 57 + 76
= 133 (Selesai)

Tentu saja bagi yang sudah berpengalaman dapat menggunakan logika perbandingan dengan lebih cepat.

3x = 57
7x = … = 7(57/3) = 133 (Selesai).

Jadi, pertanyaan besar yang harus kita cari jawabannya,

“Bagaimana cara mengajarkan aljabar kepada anak-anak kita?”

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 3 Komentar

Ditulis pada APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Di-tag , , , , , , ,