Arsip Kategori: Matematika Populer

Group of Permutation and Cyclic (Abstract Algebra)

Posted on Januari 18, 2010 | Tinggalkan Komentar

Membaca memperluas semesta
Menulis memperkokoh semesta

Saya ingin mencatat beberapa ide tentang aljabar abstrak – setelah membaca.

…

the set of all the permutations of A, with the operatin * of composition, is a group.

For any set A, the group of all the permutations of A is called the symmetric group on A, and it is represented by symbol SA.

…

If G is a group and a is element of G, it may happen that every element of G is a power of a. In other words, G may consist of all the power of a, and nothing else…

In that case, G is called the cyclic group, and a is called its generator.

Selamat berpetualang dengan aljabar abstrak.

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto; Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Ditulis pada Matematika Populer

Di-tag , , , , ,

Test WordPress

Posted on November 29, 2009 | Tinggalkan Komentar

Dulu saya pernah nulis tentang dampak jarimatika. Kok bisa hilang ya…? Mengapa ya?

→ Leave a comment

Ditulis pada Matematika Populer

Di-tag ,

Sederhana Kaya Raya

Posted on Agustus 6, 2008 | 6 Komentar

Saya telah lama kagum dengan kreativitas dua anak muda Stanford University itu: Larry Page dan Sergey Brin. Tetapi saya belum punya banyak waktu untuk mendalami hasil kreativitas mereka yang berupa algoritma khusus: pagerank. Saya hanya sempat mengagumi hasilnya dari luar.

Google adalah perusahaan yang mereka dirikan untuk mengimplementasikan pagerank. Saya tahu kinerja search engine Google memang luar biasa. Tetapi Google tidak dapat menghasilkan uang sejak awal berdiri. Bahkan mereka telah menghabiskan ratusan ribu dolar, sampai jutaan dolar.

Pada akhirnya, mereka menemukan cara mengumpulkan uang melalui search engine Google: iklan. Iklan berbayar ini terhitung murah dan hanya dikenakan biaya bila terjadi proses klik pada iklan (AdSence) tersebut. Terbukti iklan ini menguntungkan dua pihak. Pihak pengiklan untung. Lebih-lebih Google melejit menjadi perusahaan yang sangat menguntungkan. Google berhasil mengantarkan kedua pendirinya menjadi jajaran orang terkaya di dunia.

Algoritma rahasia macam apakah yang mengantar sukses Google itu?

Pagerank algoritma spesial itu. Pagerank bukan rahasia. Pagerank sudah dipatenkan. Jadi kita bisa mempelajarinya dengan bebas. Tetapi hanya Google yang berhak memanfaatkan pagerank itu karena sudah dilindungi paten. Anehnya paten itu atas nama Stanford University bukan atas nama Google.

Prinsip dari pagerank sangat sederhana. Prinsip ini sudah kita terapkan dalam dunia nyata. Ketika membaca sebuah buku kita sering melihat halaman-halaman terakhir. Di situ tertulis berbagai macam buku rujukan – referensi. Pagerank memanfaatkan sistem rujukan ini. Buku yang mendapat rujukan memperoleh poin. Semakin sering dirujuk, semakin banyak poin.

Dalam dunia internet – website, webpage – , rujukan ini setara dengan link. Semakin sering di-link, maka website tersebut semakin banyak memperoleh poin.

Terbukti algoritma pagerank ini memberi hasil yang efektif dengan proses yang sangat cepat. Mari kita ilustrasikan dengan contoh.

Misalkan hanya ada 3 website: A, B, dan C.
A melink ke B
A melink ke C
C melink ke B
B melink ke B

Berapa nila pagerank mereka? PR(A), PR(B), PR(C)?

Dalam kondisi awal PR(A) = PR(B) = PR(C) = 1

Setelah kondisi awal

PR(A) =  0 (A tidak menerima link dari siapa pun)
PR(C) = ½ (C menerima link dari A dibagi 2 karena A juga melink ke B)
PR(B) = ½ + 1 + 1 = 2 ½ (menerima dari A, dari C, dan dari B sendiri)

Untuk memperoleh hasil PR yang lebih tepat, Google melakukan perhitungan secara berulang, iterasi sampai 100 iterasi. Tentu saja semua dilakukan oleh program komputer otomatis.

Apa untungnya jika memiliki PR tinggi?

PR tinggi berimplikasi bahwa webpage kita memperoleh prioritas utama dara Google. Sehingga bila ada orang yang mencari informasi di Google maka webpage dengan PR tinggi akan tampil di urutan atas pencarian Google.
Nilai PR ditetapkan dalam rentang dari 0 sampai 10.

Untuk megetahui berapa nila PR webpage Anda dan beberapa webpage yang lain, silakan merujuk ke tulisan saya yang terdahulu.

Bagaimana cara agar webpage kita memiliki PR tinggi?

1. Sering-seringlah mengisi web Anda dengan tulisan-tulisan yang khas. Sehingga akan bertambah banyak web orang yang melink ke web Anda.
2. Buatlah internal link sendiri. Pilihan ada di tangan Anda sendiri kan?
3. Buatlah link ke web-web lain agar web-web lain akan balik melink ke Anda.

Jika PR saya tinggi, apaka saya bisa kaya seperti pendiri Google?
Mengapa tidak?
Silakan mencoba!

Salam hangat…
(angger: agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 6 Komentar

Ditulis pada Matematika Populer

Di-tag , , , , ,

Bahaya!!! Hade Menang Pilkada Gubernur Jabar (Belajar Matematika Yuk…)

Posted on April 20, 2008 | 21 Komentar

Sangat berbahaya!
Hade menang, masa depan penuh tanda tanya!

Dalam matematika kita mengenal berbagai fungsi yang memiliki titik kritis, titik ektrem, tipping point. Kondisi Hade yang memenangkan pilkada Jabar tidak jauh dari kondisi titik kritis ini.

Fungsi sederhana yang banyak dipelajari siswa pemula adalah f(x) = (ax+b)/(cx+d)

Bagian atas (pembilang) ax + b tidak mempengaruhi titik kritis.
Tetapi bagian bawah (penyebut) cx + d menentukan titik kritis.
Jika bagian bawah mendekati 0 maka fungsi di atas bernilai tak hingga, besar sekali.

Kemenangan Hade dapat kita umpamakan (modelkan) sebagai penyebut (bagian bawah) menuju 0. Kondisi Jawa Barat akan menjadi tak terhingga. Ada dua kemungkinan tak terhingga. Pertama, tak terhingga positif. Besar sekali positif. Dalam kondisi ini, jabar meraih sukses luar biasa. Kepemimpinan Hade membawa jabar ke masa depan cemerlang. Semoga kondisi ini yang terjadi.

Kedua, tak terhingga negatif. Besar sekali negatif. Dalam kondisi ini, jabar terpuruk pada titik terendah. Jabar hancur lebur. Kepemimpinan gubernur baru menggiring jabar terpeleset pada jurang kehancuran. Tentu kita tidak mengharap ini terjadi.

Ketiga, mungkin saja Hade tidak menggeser jabar ke kondisi kritis. Jabar tetap pada wilayah linier (hampir linier) seperti sebelumnya. Kepemimpinan Hade tidak membawa perubahan yang berarti. Memang, kesuksesan pemimpin tidak hanya ditentukan oleh pemimpin. Tetapi peran serta rakyat sangat menentukan. Apakah para pemimpin kita akan berhasil merebut hati rakyat agar bersama-sama membangun Indonesia?

Mari kembali ke fungsi matematika di atas. Fungsi ini menjadi idola dalam ujian nasional (UN) maupun ujian saringan masuk perguruan tinggi – SPMB, UMPTN, SNM PTN. Soal dalam ujian ini sering menanyakan invers dari fungsi tersebut.

Contoh soal:
Jika g(x) adalah invers dari f(x) = (2x + 3)/(4x -1) maka g(1) = …

Pertama; Kita menentukan invers dengan cara biasa dengan memisalkan f(x) = y
y = (2x + 3)/(4x – 1)
4xy – y = 2x + 3
4xy – 2x = y + 3
x (4y – 2) = y + 3
x = (y + 3)/(4y – 2)

Kita peroleh invers f(x) = g(x)
g(x) = (x + 3)/(4x – 2)
g(1) = (1 + 3)/(4.1 – 2)
= 4/2 = 2 (Selesai)

Kedua; Dengan beberapa kali latihan kita tahu bahwa invers dari f(x) = (ax + b)/(cx + d) adalah g(x) = (-dx + b)/(cx – a)
Cukup hanya tukarkan nilai a dengan nilai d dan beri tanda negatif.

f(x) = (2x + 3)/(4x -1) maka
g(x) = (x + 3)/(4x – 2)
g(1) = (1 + 3)/ (4 – 2) = 2 (Selesai)

Ketiga; Dengan memahami fungsi invers adalah fungsi kebalikan, g(1) memberi kita

1 = (2x + 3)/(4x – 1)
4x – 1 = 2x + 3
2x = 4 maka x = 2 (Selesai)

Seandainya, para pemimpin kita rajin belajar matematika, apa yang akan terjadi dengan Indonesia?
Salam hangat…

 (aNgger: agus Nggermanto; Pendiri APIQ)

 

→ 21 Komentar

Ditulis pada Inovasi Pembelajaran, Matematika Populer, SPMB, Ujian (UN

Di-tag , , , , , , ,

Cara Indah Bunuh Diri: Gunakan Matematika

Posted on April 18, 2008 | 16 Komentar

Mengapa semakin banyak kasus bunuh diri?
Mengapa semakin makmur negara, seperti Amerika dan Jepang, tetap tinggi angka bunuh diri?
Apakah karena tingkat stress yang meningkat?

Apa pun pilihan Anda, bila ada yang hendak bunuh diri, lakukan dengan cara yang indah. Berikut ini cara bunuh diri terindah yang pernah saya ketahui.

Ruseli lahir di lingkungan yang taat beragama. Sejak kecil ia sudah hidup dan menganut agama secara taat bahkan ketat. Tetapi Ruseli muak dengan perilaku ibadat keagamaan yang begitu-begitu saja. Ia ingin memberontak.

Ketika remaja, ia sudah mulai tidak betah dengan hidup yang hampa. Ibadah keagamaan yang hampa sudah menghacurkan hidup Ruseli. Ia mengambil keputusan berani: bunuh diri.

Tibalah malam yang telah direncakan Ruseli untuk bunuh diri. Menunggu tengah malam, Ruseli merasa bosan. Dari pada bosan menunggu tengah malam untuk bunuh diri, Ruseli mengisi waktunya dengan mengerjakan beberapa soal matematika.

Ruseli melirik ke arah jam. Barangkali sudah waktunya ia bunuh diri. Ia gosok-gosok matanya. Tidak percaya dengan yang ia lihat.

”Kok jam 6? Jam 6 apaan?” Ruseli bertanya pada diri sendiri.

Ruseli melihat ke arah luar. Cahaya matahari mulai bersinar. Pagi telah datang. Gagal. Ruseli gagal bunuh diri yang sudah ia rencanakan akan dilakukan tengah malam.

”Ya sudah, tidak apa-apa. Kan masih bisa besok malam. Lagi pula masih ada soal matematika yang belum saya selesaikan,” kata Ruseli dalam hati.

Malam kedua, Ruseli bersiap-siap untuk bunuh diri. Seperti biasa ia bosan menunggu tengah malam. Ia mencoba mengerjakan soal matematika. Tetapi dia tidak mau gagal untuk yang kedua kalinya. Sebentar-sebentar ia melirik ke arah jam.

“Ah…masih jam 9…”
“Ah …masih jam 10…”
“Ah…masih jam ….? Jam?”

Ruseli menggosok-gosok matanya lagi. Tidap percaya yang ia lihat.

“Masa sudah jam 5? Tidak mungkin!”

Ruseli melongok ke luar. Fajar sudah mulai kelihatan.
“Memang benar, pagi mulai datang. Tidak apa-apa. Kan masih bisa saya coba malam berikutnya,” Ruseli pantang menyerah.

Ruseli menyusun rencana bunuh diri lagi yang lebih rapi. Tetapi gagal lagi karena ia keasyikan mengerjakan matematika. Semakin sering ia mencoba, semakin sering ia gagal.

”Mengapa aku harus memaksa untuk bunuh diri? Toh mengerjakan matematika juga asyik!”

Akhirnya, Ruseli membatalkan niatnya untuk bunuh diri. Ia berpindah memfokuskan pikiran untuk mendalami matematika.

Catatan sejarah menunjukkan, Ruseli menjadi seorang ahli matematika terbesar di dunia. Bukan hanya ahli matematika saja. Ruseli juga dikenal sebagai ahli filsafat dan logika. Bahkan ia dikenal sebagai Bapak filsafat dan logika matematika.

Ruseli bukan nama sebenarnya. Nama sebenarnya adalah Russell, lengkapnya Bertrand Russell.

Matematika adalah alat paling indah untuk bunuh diri. Cara bunuh diri terindah adalah dengan meraih prestasi dalam sisa hidup kita.

Bagaimana pendapat Anda? 

(aNgger: agus Nggermanto; Pendiri APIQ)

 

→ 16 Komentar

Ditulis pada Inspirasi, Matematika Populer

Di-tag , , , , ,

Cara Cepat Matematika untuk Menghitung UN, SPMB (UMPTN, SNM PTN), dan Pilkada

Posted on April 15, 2008 | 25 Komentar

Beberapa saat setelah pilkada Jabar usai, hasil perolehan suara sudah dapat kita baca. Hasil perolehan suara ini bukan prediksi. Bukan pula hasil sementara. Tetapi ini adalah hasil perhitungan sebenarnya dengan toleransi kesalahan hanya 1%. Metode perhitungan ini kita kenal dengan quick count – hitung cepat. Dalam istilah matematika (statistik) metode ini sering dikenal sebagai metode sampling – berbeda dengan sensus .

Akurasi quick count memang mengagumkan. Penghematan biaya juga sangat besar. Bandingkan dengan perhitungan manual. Pagi ini, dua hari telah berlalu dari pilkada Jabar, panitia baru berhasil menghitung sampai 20% data pemilih. Diperkirakan perhitungan selesai 23 April – 10 hari setelah pelaksanaan pilkada. Sedangkan quick count hanya butuh beberapa jam dengan akurasi tidak kalah tepat.

Penyelenggaraan UN (ujian nasional) mestinya juga bisa menggunakan quick count. Tidak harus setiap siswa mengikuti UN untuk menentukan kelulusannya. Cukup hanya memilih 400 siswa secara random, kita sudah dapat mengetahui kualitas pendidikan kita. Hanya 400 siswa ini saja yang mengikuti UN sebagai sampel. Tidak perlu menghabiskan dana 250 milyard seperti UN sekarang. Pun juga tidak membuat stress para siswa dan sekolah di berbagai daerah.

Tetapi apakah kita dapat percaya dengan hasil quick count UN itu? Secara ilmiah – matematis – dapat kita buktikan bahwa quick count UN itu sah. Masalahnya, apakah para pengambil kebijakan di negeri kita ini percaya dengan matematika?

Dasar dari semua quick count adalah ilmu probabilitas dan statistik. Dalam UN dan SPMB sering diujikan materi statistik. Tentu saja materi yang dasar-dasar saja. Mari kita diskusikan soal yang sering muncul dalam UN, SPMB (UMPTN, SNM PTN).

Contoh soal:

Di kelas A terdiri dari 40 siswa memperoleh nilai rata-rata matematika 65. Sedangkan kelas B yang terdiri dari 35 siswa memperoleh nilai rata-rata 80. Berapakah nilai rata-rata gabungan kelas A dan kelas B?

Pertama; Untuk menghitung rata-rata kita perlu mengetahui total seluruh nilai dibagi dengan total seluruh siswa.

Total nilai kelas A =
= rata-rata kelas A x banyaknya siswa A
= 65 x 40 = 2600

Total nilai kelas B =
= rata-rata kelas B x banyaknya siswa B
= 80 x 35 = 2800

Total seluruh nilai = N
= total nilai kelas A + total nilai kelas B
= 2600 + 2800
= 5400

Sedangkan total seluruh siswa = S
= siswa kelas A + siswa kelas B
= 40 + 35 = 75

Kita peroleh, rata-rata gabungan =
= Total seluruh nilai / total seluruh siswa
= N/S
= 5400/75
= 72   (Selesai)

Adakah cara lain yang lebih sederhana?
Tentu ada. Gunakan pergeseran data. Misalnya, geser 65 menjadi 0.

Kedua; Geser 65 menjadi 0. Dan 80 menjadi 15.
Rata-rata =
= ([0 x 40] + [15 x 35]) / 75
= 7

Rata-rata sebenarnya = 7 + 65 = 72 (Selesai).

Bagaimana pendapat Anda? 

Selamat berjuang kawan… semoga sukses!

Salam hangat…

 (agus Nggermanto; Pendiri APIQ)

→ 25 Komentar

Ditulis pada Inovasi Pembelajaran, Matematika Populer, SPMB, Ujian (UN

Di-tag , , , , , , , , ,

Melatih Intuisi Rumus dan Trik Cepat Matematika

Posted on Maret 20, 2008 | 12 Komentar

Ketika SMA, saya terpesona dengan soal sederhana. Sebuah soal matematika UMPTN (SPMB) yang hanya melibatkan pemahaman deret aritmetika dan rumus Pythagoras. Saya yakin pemahaman konsep deret dan Pythagoras ini sangat membantu untuk sukses Anda dalam UN, SPMB, UMPTN 2008. Soal sederhana itu adalah:

 

Sebuah segi tiga siku-siku, panjang sisi-sisinya membentuk barisan aritmetika. Jika luas segi tiga tersebut adalah 96 satuan, maka sisi terpendek adalah…

 

Soal di atas sering muncul pada tahun 90-an. Lalu sempat menghilang. Lalu muncul lagi. Meski pun pernah menghilang, tetapi prinsip-prinsip penyelesaian soal itu tetap berguna sampai Anda kuliah di perguruan tinggi.

 

Mari kita diskusikan jalan penyelesaian soal di atas.

 

Pertama, luas = 96 = ½ x alas x tinggi. Jika kita mengetahui salah satu dari alas atau tinggi maka langsung dapat menghitungnya. Dan yang terpendek adalah jawabannya. Tetapi kita belum mengetahui kedua-duanya.

 

Segi tiga siku-siku, berlaku dalil Pythagoras: x2 + y2 = z2 ; x atau y adalah yang kita cari. Tetapi kita belum memiliki informasi apa pun tentang xyz ini.

 

Barisan aritmetika, berlaku selisih setiap sisi adalah sama. Atau setiap sisi dapat kita nyatakan sebagai: a, (a+b), (a+2b).

 

Kedua, dari pemahaman di atas kita dapat mencoba menyelesaikan soal ini dengan membentuk sebuah sistem persamaan:

 

96 = ½ . x . y …………………………….(1)

x2 + y2 = z2 ……………………………….(2)

x = a; y = a+b; z = a + 2b ……………(3)

 

Kita pasti dapat menyelesaikan soal ini. Kita memiliki 3 persamaan dengan 3 variabel yang belum diketahui (x, y, z). Kita boleh yakin akan memperoleh jawaban tunggal yang unik.

 

Sangat bermanfaat bagi kita untuk memahami dengan mendalam bahwa kita hanya dapat memperoleh solusi unik bila memiliki n persamaan dengan n variabel yang belum diketahui. Jika kita punya 2 persamaan dengan 3 variable yang belum diketahui, kita tidak akan dapat menyelesaikan persamaan tersebut untuk memperoleh jawaban tunggal. Masih terdapat banyak jawaban dari sistem persamaan ini.

 

Sedangkan jika kita memiliki 3 persamaan dengan 2 variable, kita akan memiliki penyelesaian yang tidak konsisten. Pemahaman konsep ini justru lebih penting dari sekedar mendapatkan jawaban soal UN, SPMB atau UMPTN.

Saya perhatikan soal UN, SPMB, UMPTN sering memunculkan 3 persamaan dengan 3 variable yang belum diketahui. Sayangnya para siswa banyak yang tidak memahami ini. Mereka bekerja keras dengan menghitung sana, menghitung sini. Tetapi tidak akan pernah mendapatkan jawaban yang diharapkan.

 

Mengapa? Mereka hanya menggunakan 2 persamaan. Tentu tidak akan selesai. Sebelum mengerjakannya, pastikan dulu apakah kita sudah memiliki kondisi yang mencukupi?  

 

Kembali ke contoh soal di atas, bagaimana cara kita menyelesaikan persamaan itu? Secara umum kita dapat menyelesaikannya dengan teknik eliminasi atau substitusi. Kelak kita akan belajar menyelesaikan sistem persamaan dengan bantuan aljabar matrik.

 

Ketiga, mari kita selesaikan sesuai rencana. Substitusi persamaan (3) ke persamaan (2) kita peroleh:

 

a2 + (a+b)2 = (a+2b)2        ……………(4)

 

Silakan mencoba menghitungnya. Kombinasikan dengan persamaan (1) yang sedikit  kita ubah menjadi persamaan (5) berikut:

 

96 = ½ . a (a+ b)  ……..(5)

 

Pasti kita akan memperoleh nilai a dan b. Tetapi berapa lama kita akan menemukannya? Bagaimana dengan risiko salah hitung?

 

Keempat, mari kita cermati seluruh langkah yang kita lakukan.

 

Barisan aritmetik sering lebih mudah bila kita tulis sebagai:

 

(a – b), a, (a + b) ………….(6)

 

Rumus Pythagoras menjadi:

 

(a – b)2 + a2 = (a + b)2  …………….(7)

 

Silakan menghitung persamaan (7) ini. Dengan mudah kita akan memperoleh:

 

a = 4b …………(8)

 

Substitusi ke persamaan luas menjadi:

 

96 = ½ (a – b).a = ½ (4b – b).4b

 

Kita peroleh

 

b = 4 dan

a = 16

 

Sisi terpendek adalah a – b = 16 – 4 = 12 (Selesai).

 

Adakah cara lain?

 

Tentu ada. Mengapa kita tidak memanfaatkan intuisi saja? Mengapa kita tidak memanfaatkan dugaan saja? Bukankah Einstein menduga bahwa postulatnya benar? Kemudian dengan postulat ini Einstein mengembangkan rumus-rumusnya yang menghasilkan E = mc2.

 

Mari kita coba dengan menduga seperti Einstein!

 

Postulat:

Hanya ada satu jenis segitiga siku-siku yang sisinya membentuk barisan aritmetika yaitu segi tiga yang panjang sisinya adalah 3,4, dan 5 atau kelipatannya.

 

Mari kita terapkan postulat itu untuk contoh soal kita:

 

96 = ½ (3n)(4n) ………….(9)

 n = 4

 

Jadi, sisi terpendek adalah 3n = 12 (Selesai).

 

Dengan banyak memanfaatkan intuisi dan beragam dugaan, kita memperoleh banyak terobosan dalam matematika. Anda dapat mengembangkan banyak rumus dan trik cepat matematika dengan memanfaatkan intuisi.

 

Untuk anak-anak kecil mulai TK di APIQ, kami mendukung agar anak-anak senang menebak. Setiap ada persoalan, anak-anak akan menduga jawabannya. Guru tidak akan menyalahkan apa pun hasil dugaan itu. Tugas guru adalah mengarahkan dugaan itu ke arah yang lebih mendekati jawaban. Atau mengeksplorasi dugaan itu untuk menemukan inovasi pembelajaran matematika baru.

 

 

Bagaimana menurut Anda?

 

Salam hangat…

 

 (agus Nggermanto; pendiri APIQ)

 

APIQ: Inovasi Pembelajaran Matematika. APIQ membuka program kursus matematika kreatif yang mengembangkan kecerdasan anak dengan cara fun, gembira, dan mengasyikkan serta lebih cepat. APIQ menumbuhkan motivasi belajar anak dengan pendekatan Quantum Learning, Quantum Quotient, dan Experiential Learning. Berbeda dengan pendekatan metode pendidikan atau pembelajaran matematika yang pada umumnya menempatkan aljabar sebagai fundamental, APIQ justru menempatkan aritmetika sebagai fundamental utama matematika. Pendekatan aritmetika menjadikan matematika lebih konkret tidak abstrak seperti aljabar. APIQ mempelajari matematika secara utuh dari aritmetika, aljabar, geometri, statistik, kalkulus, dan lain-lain. APIQ menyiapkan program untuk anak usia 4 tahun (TK), SD, SMP, SMA, sampai lulus SMA (preuniversity). APIQ membuka peluang bagi Anda yang berminat membuka cabang franchise. Anda dapat menghubungi APIQ di apiq.wordpress.com atau (022) 2008621 atau 0818 22 0898 atau quantumyes@yahoo.com . APIQ berasal dari kata Aritmetika Plus Inteligensi Quantum.

→ 12 Komentar

Ditulis pada Inovasi Pembelajaran, Matematika Populer, SPMB, Ujian (UN

Di-tag , , , , , , , , ,

Kemangi Penebar Wangi

Posted on Maret 12, 2008 | 4 Komentar

Kemangi (surawung di Sunda) adalah sejenis sayuran atau lalaban yang segar dan nikmat. Beberapa hari lalu tetangga saya menanam kemangi di depan rumah dekat rumah saya. Kemangi itu tumbuh subur dan hijau.

Si Ibu yang menanam kemangi itu baik hati menawari istri saya agar sering memetik daun kemangi untuk sayur. Tentu saya setuju. Saya suka kemangi.

Tetapi Si Ibu itu tidak hanya menyuruh istri saya memetik daun kemangi. Ia malah mewajibkan istri saya untuk memetik daun kemangi tersebut. Mengapa?

Kemangi akan tumbuh subur bila daunnya sering dipetik.

Kemangi akan cepat mati bila daunnya tidak pernah dipetik.

Semakin dibagi, kemangi semakin tumbuh subur. Fenomena menarik!

Bukankah semakin dibagi, sesuatu akan semakin kecil?  Semakin berkurang?

Bila kita punya 12 dibagi 2 hasilnya adalah 6.

Bila 12 dibagi 3 hasilnya adalah 4.

Ini adalah model sistem aljabar lama. Mungkinkah ada sistem aljabar baru yang merumuskan bahwa sesuatu semakin dibagi semakin besar?

Selain kemangi, ilmu meiliki sifat yang mirip. Semakin kita membagi ilmu maka ilmu itu semakin banyak.

Bagaimana pendapat Anda?

Salam hangat….

agus Nggermanto

→ 4 Komentar

Ditulis pada Isu, Matematika Populer

Kreativitas Tanpa Batas: Matematika Berkualitas

Posted on Maret 11, 2008 | 7 Komentar

Matematika sering dijadikan korban tanpa pertanggungjawaban. Matematika sebagai tertuduh. Matematika dituduh sebagai sebuah bidang disiplin otak kiri saja. Matematika hanya mengandalkan kemampuan analisis, logika, perhitungan. Matematika dituduh tidak mengembangkan kreativitas, tidak memacu kerja otak kanan yang imajinatif.

Matematika sering dilawankan dengan seni. Seni, musik misalnya, dianggap sebagai bidang yang sangat kreatif. Musik menuntut imajinasi tingkat tinggi dan melibatkan emosi. Musik identik dengan otak kanan dan intuisi. Sebaliknya, matematika dituduh sebagai kaku. Tanpa emosi.

Tuduhan yang tidak adil!
Tidak pernah disidangkan di pengadilan lagi.

Berlawanan seratus delapan puluh derajat dari tuduhan itu, matematika justru medan kreativitas tanpa batas. Matematika mengaktifkan otak kanan. Lihatlah perkembangan sains berkat matematika! Lihatlah kemajuan teknologi berkat matematika! Lihatlah kemajuan peradaban karena matematika!

Tetapi, tuduhan itu juga tidak 100% salah.
Pun tidak 100% benar.

Saya mengamati banyak sistem pembelajaran matematika yang sangat kaku di sekolah-sekolah kita. Sistem pembelajaran yang kaku ini seakan membenarkan tuduhan-tuduhan di atas. Sayang sekali…

Saya melihat seorang siswa SD telah mampu mengerjakan soal ini:

4 x 2 = ….

Siswa itu menjawab 4 x 2 = 8. Benar!

Beberapa hari kemudian siswa tersebut mendapat soal yang mirip, tetapi pilihan ganda:

4 x 2 = …..

a. 4 + 4
b. 2 + 2 + 2 + 2
c. 10

Apa jawaban Anda ketika mendapat soal seperti di atas?
Anda memilih jawaban a. 4 + 4?
Tapi gurunya ingin jawaban yang b, jadi Anda salah.

Atau Anda memilih jawaban b. 2 + 2 + 2 + 2?
Tapi gurunya ingin jawaban a, Anda salah!

Bila begini caranya, matematika memang tidak memicu kreativitas.

Guru akan lebih kreatif bila ia membenarkan jawaban a, kemudian bertanya, “Mengapa kamu memilih jawaban a tersebut?” Guru yang kreatif juga membenarkan jawaban b, serta bertanya, “Mengapa kamu memilih jawaban yang ini?” (Saya ingin menulis masalah ini lebih detil, kelak tentang aksioma, teorema, dan definisi dalam matematika).

Pengalaman kami di APIQ justru menunjukkan bahwa matematika adalah medan kreativitas tanpa batas. Dalam bidang geometri, APIQ memperkenalkan konsep luas, keliling, volume sejak anak usia TK. Tentu semua dengan cara bermain yang mengasyikkan. Jangan kaget bila seorang anak TK telah dapat menghitung volume balok dan kubus.

Untuk memperkenalkan konsep geometri, APIQ memanfaatkan permainan Dadu Milenium. Dadu Milenium ini sebuah alat yang berupa ratusan dadu.

“Pernahkah Anda melihat ratusan dadu?”

Seratus dadu sangat berbeda dengan satu dadu. Satu dadu biasa-biasa saja. Seratus dadu adalah pemandangan yang mempesona, mengagumkan, amazing!

Di APIQ, anak-anak kami biarkan bermain dengan ratusan dadu. Mereka secara kreatif menyusun dadu itu membentuk kelinci, singa, manusia, rumah, mobil, dan apa saja. Anak-anak memang kreatif.

Di sela-sela anak-anak (TK) sedang bermain, guru APIQ kadang-kadang menyela,

”Berapa luas segi empat ini?” sambil menunjukkan segi empat yang terdiri dari 8 dadu.
“Luas itu apa?” anak-anak balik bertanya.
”Luas itu adalah banyaknya dadu.”
”Delapan…” kata anak-anak sambil menghitung dadu.

Dengan beberapa kali pengulangan, anak-anak tidak akan menghitung banyaknya dadu. Mereka menemukan cara yang lebih sederhana. Mereka mengalikan panjang dengan lebar dari segi empat itu. Luar biasa! Anak-anak memahami konsep luas tanpa diterangkan. Mereka menemukan sendiri dengan bermain Dadu Milenium bahwa luas adalah panjang kali lebar.

Guru di APIQ kadang dapat mencoba bertanya dengan kebalikannya,

”Tolong buatkan segi empat yang luasnya 9!”

Anak-anak akan mengambil 9 dadu dan menatanya menjadi persegi berukuran 3 x 3.

”Tolong buatkan segi empat yang luasnya 12!”

Anak-anak akan mengambil 12 dadu dan menyusunnya menjadi segi empat yang berukuran 3 x 4 atau 6 x 2 atau 12 x 1. Semua kami benarkan. Itulah kreatif. Terdapat lebih dari satu macam jawaban. Bahkan dari perbedaan jawaban ini, guru APIQ dapat melangkah lebih jauh memperkenalkan konsep keliling. Konsep volume juga kami kenalkan dengan cara bermain-main bergembira.

Bagi kami, matematika adalah kreatif, imajinatif, merangsang otak kanan.

Dalam catatan sejarah, banyak matematikawan yang sangat kreatif. AlKhawaritzmi merumuskan penggunaan angka 0 secara efektif. Bayangkan apa jadinya hidup Anda bila tidak menggunakan angka 0. Descartes menggambar dua sumbu yang berpotongan untuk membantu geometri analisis. Bayangkan pekerjaan Anda bila tidak ada grafik – bagaimana Anda dapat berkomunikasi dengan baik. Gauss mengembangkan sistem bilangan kompleks. Bayangkan kerja Anda tanpa tampilan komputer visual – semua komputer berisi teks belaka.

Beberapa contoh di atas adalah sekedar secuil contoh dari kreativitas matematika yang tanpa batas.

Bagaimana pendapat Anda?

Salam hangat….

(agus Nggermanto; pendiri APIQ)

APIQ: Inovasi Pembelajaran Matematika. APIQ membuka program kursus matematika kreatif yang mengembangkan kecerdasan anak dengan cara fun, gembira, dan mengasyikkan serta lebih cepat. APIQ menumbuhkan motivasi belajar anak dengan pendekatan Quantum Learning, Quantum Quotient, dan Experiential Learning. Berbeda dengan pendekatan metode pendidikan atau pembelajaran matematika yang pada umumnya menempatkan aljabar sebagai fundamental, APIQ justru menempatkan aritmetika sebagai fundamental utama matematika. Pendekatan aritmetika menjadikan matematika lebih konkret tidak abstrak seperti aljabar. APIQ mempelajari matematika secara utuh dari aritmetika, aljabar, geometri, statistik, kalkulus, dan lain-lain. APIQ menyiapkan program untuk anak usia 4 tahun (TK), SD, SMP, SMA, sampai lulus SMA (preuniversity). APIQ membuka peluang bagi Anda yang berminat membuka cabang franchise. Anda dapat menghubungi APIQ di apiq.wordpress.com atau (022) 2008621 atau 0818 22 0898 atau quantumyes@yahoo.com . APIQ berasal dari kata Aritmetika Plus Inteligensi Quantum.

→ 7 Komentar

Ditulis pada Inovasi Pembelajaran, Matematika Populer, Peluang Bisnis

Di-tag , , , , , , , ,

Rumus Matematika Cepat yang Memikat dan Mengikat: Sukses UN, Sukses SPMB/UMPTN, Dicerca Dosen

Posted on Maret 11, 2008 | 29 Komentar

Ketika SMA kelas 3, saya berusaha menghitung luas wilayah yang dibatasi kurva. Dengan cara standar, saya selesaikan soal itu dengan teknik integral. Apa susahnya? Mengintegralkan fungsi kuadrat. Asal bersemangat pasti dapat. Yup, benar saja jawabannya saya dapat.

”Saya juga sudah selesai,” kata Eko kepada saya.

”Bukankah kamu hanya diam saja. Tidak melakukan apa-apa?” saya heran.

”Nih…lihat hasilnya! Pasti benar!” Eko yakin.

Jawaban Eko sama persis dengan jawaban saya. Saya butuh sekitar 10 baris untuk menyelesaikan soal itu. Eko hanya cukup dengan satu baris. Bagaimana mungkin? Eko menyebut caranya itu sebagai trik cepat menyelesaikan matematika. Ia memperoleh trik itu dari LBB tempat ia les. (Di Tulungagung, dikenal sebagai LBB: Lembaga Bimbingan Belajar. Di Bandung, dikenal sebagai Bimbel: Bimbingan Belajar)

Belakangan saya kenal istilah trik cepat, rumus cepat, fastest solution, rumus sesat, dan lain-lain. Teman-taman saya tertarik ikutan bimbel gara-gara rumus cepat. Saya ragu, ikut bimbel nggak ya? Harga bimbel mahal lagi. Rumus cepat memang hebat.Tapi saya ragu, jangan-jangan rumus itu sesat. Saya putuskan untuk tidak ikut bimbel saja lah. Kecuali kalau gratis. Benar. Bimbel memberi kesempatan kepada saya untuk ikut gratis. Caranya? Mudah saja. Saya hanya harus ikut try out (TO) dan menjuarainya. Apa susahnya? Tinggal kebut belajar. Baca sana, baca sini. Datang try out. Lihat pengumuman. Hasilnya? Gratis ikut bimbel!

Beberapa bulan kemudian saya ikut kuliah di Teknik Elektro ITB. Mengapa banyak dosen yang sinis terhadap rumus cepat bimbel?

Bagi saya rumus cepat itu hebat. Saya kagum dengan rumus-rumus cepat itu. Tetapi memang banyak mahasiswa yang tersesat gara-gara rumus sesat/cepat itu. Mereka yang mengandalkan rumus cepat akan sulit lulus mata kuliah kalkulus, fisika dasar, kimia dasar dan biologi – biologi juga nggak ya?

Apa hebatnya rumus cepat?

 

Rumus cepat sangat efisien. Kita dapat menghemat pikiran, waktu, dan tenaga bila memakai rumus cepat. Bahkan kita juga terlindungi dari kesalahan hitung.

 

Mau contoh rumus cepat?

 

Dalam ujian nasional (UN) dan SPMB/UMPTN selalu muncul soal tentang deret. Deret muncul baik di matematika dasar mau pun matematika IPA. Bila Anda seorang siswa SMA atau alumni atau guru, Anda akan memperoleh keuntungan besar dengan rumus cepat berikut ini. Tapi tolong jangan sampai tersesat. Ingat rambu-rambu yang berlaku. OK?

 

Contoh soal:

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 60 cm. Setiap menyentuh lantai, bola terpantul sejauh ½ dari ketinggian sebelumnya. Begitu seterusnya sampai bola berhenti di permukaan lantai. Berapa panjang lintasan yang ditempuh bola tersebut dari awal sampai berhenti?

 

Bagaimana caranya ya?

 

Pasti lebih dari 90 cm. Pertama 60, 30, 15,….

 

Pasti lebih dari 120 cm. Pertama 60 (turun), 30 (naik), 30 (turun), 15 (naik), ….

 

Tebakan yang bagus! Tapi berapa tepatnya?

 

 

Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu memahami teori deret tak hingga. Dalam deret tak hingga berlaku rumus:

 

S = a /(1-r)

S: jumlah seluruh suku

a: suku pertama

r: rasio/perbandingan suku ke-2 dengan suku ke-1 atau yang ekivalen

 

Dalam contoh soal di atas terdapat dua deret: deret bola turun dan deret bola naik (terpantul). Deret bola turun adalah

 

Sturun = 60 + 30 + 15 + 7,5 + ….

= a/(1-r) = 60/(1- ½ ) = 60 / ½ = 120.

 

O, iya. Dalam soal ini r = ½ seperti disebut dalam soal. Deret bola naik adalah

 

Snaik = 30 + 15 + 7,5 + ….

= a/(1-r) = 30/ ( 1 – ½ ) = 30/ ½ = 60.

 

Jadi, panjang seluruh lintasan adalah jumlah dari lintasan turun di tambah lintasan naik.

Kita peroleh

S = Sturun + Snaik

= 120 + 60

= 180 cm (Selesai).

 

Mengerti nggak?

 

Dengan cara ini, semua orang setuju. Bimbel setuju, dosen juga setuju. Tapi berapa waktu yang kita butuhkan untuk menyelesaikannya? Belum lagi risiko salah hitung. Bahaya!

 

Adakah cara lain? Ada. Banyak! Tetapi prinsipnya mirip-mirip saja!

 

Bagaimana rumus cepatnya?

 

Mudah!

 

Panjang lintasan = tinggi semula x (jumlah/selisih)

 

S = 60 x [(2+1)/(2-1)]= 60 x 3 = 180 cm (Selesai).

 

Bagaimana pendapat Anda?

 

Salam hangat…. (agus Nggermanto; pendiri APIQ)

 

APIQ: Inovasi Pembelajaran Matematika. APIQ membuka program kursus matematika kreatif yang mengembangkan kecerdasan anak dengan cara fun, gembira, dan mengasyikkan serta lebih cepat. APIQ menumbuhkan motivasi belajar anak dengan pendekatan Quantum Learning, Quantum Quotient, dan Experiential Learning. Berbeda dengan pendekatan metode pendidikan atau pembelajaran matematika yang pada umumnya menempatkan aljabar sebagai fundamental, APIQ justru menempatkan aritmetika sebagai fundamental utama matematika. Pendekatan aritmetika menjadikan matematika lebih konkret tidak abstrak seperti aljabar. APIQ mempelajari matematika secara utuh dari aritmetika, aljabar, geometri, statistik, kalkulus, dan lain-lain. APIQ menyiapkan program untuk anak usia 4 tahun (TK), SD, SMP, SMA, sampai lulus SMA (preuniversity). APIQ membuka peluang bagi Anda yang berminat membuka cabang franchise. Anda dapat menghubungi APIQ di apiq.wordpress.com atau (022) 2008621 atau 0818 22 0898 atau quantumyes@yahoo.com . APIQ berasal dari kata Aritmetika Plus Inteligensi Quantum.

→ 29 Komentar

Ditulis pada Inovasi Pembelajaran, Matematika Populer, Peluang Bisnis, SPMB, Ujian (UN

Di-tag , , , , , , ,