Seberapa pentingkah bukti matematika?
Beberapa ahli meyakini bahwa bukti matematika sangat penting. Paman APIQ juga setuju bahwa bukti matematika sangat penting. Bahkan anak kita dapat berlatih banyak dengan bukti matematika. Anak kita yang terbiasa dengan pembuktian matematika maka mereka telah terbiasa berpikir secara sistematis. Ini menjadi salah satu keunggulan anak kita.
Paman APIQ sendiri terus mengembangkan beragam bukti matematika yang membantu anak kita menjadi lebih matang dalam berpikir. Kali ini Paman APIQ akan berbagi cara membuktikan bahwa jumlah deret tak hingga
S = a/(1 –r)
Tentu kita sudah terbiasa dengan pembuktian yang meminjam teori limit. Tetapi Paman API Q akan mengajak kita membuktikan rumus di atas secara praktis dan intuitif. Pasti anak kita lebih suka dan mudah paham.
“Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian t dan memantul dengan tinggi p dari tinggi semula sampai akhrinya bola berhenti di atas lantai.”
Perhatikan contoh kasus bola dijatuhkan akan kita gunakan untuk membuktikan jumlah deret geometri. Kita tidak sedang mencari panjang lintasan bola dari dijatuhkan sampai berhenti di lantai.
Tetapi kita akan menghitung panjang gerak jatuh dari puncak pertama sampai puncak terakhir ketikan bola berhenti di atas lantai.
Deret puncak bola setelah memantul, tinggi maksimum bola, adalah…
t + tp + tpp + tppp + …. … … (1)
Gerak maju dari bola adalah selisih dari masing-masing puncak di atas,
(t – tp) + (tp – tpp) + (tpp – tppp) + …
t (1 – p) + tp(1 – p) + tpp(1 – p) + … … … (2)
Kita tahu jumlah dari deret di atas adalah = t yaitu tinggi bola semula.
t(1 – p) + tp(1 – p) + tpp(1 – p) … … … = t (3)
t (1 – p) (1 + p + pp + …) = t (4)
(1 – p)(1 + p + pp + …) = 1
1 + p + pp + … = 1/(1 – p) (5)
Sekarang sudah lengkap. Mari kita substitusi dengan simbol yang sudah akrab.
t = S
t(1 – p) = a
p = r
Maka deret (3) dapat kita nyatakan,
t(1 – p) + tp(1 – p) + tpp(1 – p) … … … = t (3)
a + ar + arr + … … … = S (6)
Dan deret (4) dan persamaan (5)
t (1 – p) (1 + p + pp + …) = t (4)
a (1/(1 – r)) = S
S = a/(1 – r) (7) [Terbukti]
Contoh:
“Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian t = 4 meter dan memantul p = ½ dari tinggi semula. Buktikan bahwa gerak maju dari puncak ke puncak adalah = 4.”
Jawab:
Deret puncak,
4 + 2 + 1 + ½ + ¼ + …
Deret selisih puncak,
2 + 1 + ½ + ¼ + … … ….=
2/(1 – ½) = 4 (Selesai).
Contoh:
“Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian t = 12 meter dan memantul p = 2/3 dari tinggi semula. Buktikan bahwa gerak maju dari puncak ke puncak adalah = 12 meter.”
Jawab:
Deret puncak,
12 + 8 + 16/3 + 32/9 + … … …
Deret selisih puncak,
4 + 8/3 +16/9 + … … ….=
4/(1 – 2/3) =
4/(1/3) = 12 (Selesai).
Catatan penting dari contoh di atas adalah kita berhasil membuktikan
S = a/(1 – r)
dengan contoh nyata yaitu bola yang dijatuhkan dari ketinggian tertentu t dan memantul dengan koefisien pantul p. Dengan bukti di atas kita tidak harus meminjam teori limit pun tidak harus meminjam jumlah deret geometri umum. Memang keuntungan dari bola jatuh di lantai adalah kita yakin bahwa lintasannya adalah konvergen. Koefisien pantul pun kita yakin pasti bilangan positif kurang dari 1.
Bagaimana jika nilai rasio r adalah negatif?
Dengan sedikit aljabar kita dapat menyelesaikannya dengan baik.
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat…
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ
