Archive Bulanan: Agustus 2011

Praktik Penerapan Logika Matematika

Posted on Agustus 5, 2011 | Tinggalkan komentar

Kadang-kadang siswa sulit membayangkan penerapan nyata dari logika matematika. Seorang guru pun tidak mudah memberi contoh yang gamblang. Sedangkan Paman APIQ hampir tiap hari menerapkan logika matematika. Anda pasti juga sering menerapkan logika matematika.

Semua peralatan listrik pasti menerapkan logika matematika.

Karena Anda membaca tulisan ini memakai komputer maka Anda sedang menerapkan logika matematika. Atau karena Anda membaca dengan penerangan lampu listrik maka Anda sedang menerapkan logika matematika.

Mari kita perhatikan logika AND dan OR.

Untuk membaca tulisan dari internet Paman APIQ perlu kabel listrik, komputer, koneksi internet.

Logika apa yang tepat untuk menjelaskan makna koma di atas?

AND.

Kabel listrik AND komputer AND koneksi internet

Maksudnya bila semua benar maka benar. Bila ada satu saja yang salah maka bernilai salah. Misal kabel listrik putus maka Paman APIQ tidak dapat membaca internet. Atau bila kabel OK tapi hanya komputer bermasalah maka Paman APIQ juga dapat masalah.

Untuk membaca buku Paman APIQ perlu memakai penerangan lilin, lampu listrik, lampu minyak.

Logika apa yang tepat untuk menjelaskan tanda koma di atas?

OR.

Lilin OR lampu listrik OR lampu minyak.

Cukup hanya satu saja yang benar maka bernilai benar. Misal hanya tersedia lilin saja, lainnya tidak ada maka Paman APIQ sudah dapat membaca buku.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Posted in APIQ

Tagged , ,

5 + 5 = 8 Atau 5 + 5 = 12 Atau 5 + 5 = 10 ?

Posted on Agustus 4, 2011 | Tinggalkan komentar

5 + 5 = 8 itu benar. Meski orang pada umumnya menilai salah. Ketika kita gabungkan dua himpunan yang masing-masing banyak anggotanya 5 dan mempunyai irisan 2 maka gabungan 5 + 5 = 8.

Sebuah mesin berkinerja 5. Mesin yang lain juga berkinerja 5. Ketika dua mesin tersebut digabung ternyata kinerja hanya 8. Hal ini dapat juga terjadi pada penggabungan tim.

5 + 5 = 12 itu juga benar. Meski hal ini juga sering dianggap salah. Benar 5 + 5 = 12 terjadi pada sistem sinergi atau produktif. Al mempunya 5 ide. Meti mempunyai 5 ide. Ketika digabungkan mereka memiliki 12 ide bahkan bisa lebih.

5 + 5 = 10 ini benar-benar benar. Tentu kita sudah tahu 5 + 5 = 10. Umumnya orang-orang sudah berasumsi bahwa suatu bilangan pasti sistem bilangan riil. Maka 5 + 5 = 10.

Namun, Paman APIQ mengingatkan, kita harus terbuka terhadap wawasan-wawasan baru. Meski wawasan baru kadang tidak selaras dengan wawasan sebelumnya.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Posted in APIQ

Tagged , ,

Rumus Cepat Persamaan Garis Lurus dari Grafik

Posted on Agustus 3, 2011 | Tinggalkan komentar

Paman APIQ mengamati anak-anak SMP banyak yang mulai repot menghadapi persamaan garis lurus. Hal ini dapat kita maklumi. Persamaan garis mulai mengenalkan anak-anak ke konsep sistem persamaan dua variabel. Ditambah lagi konsep gradien begitu abstrak dan banyak sudut pandang. Anak-anak makin banyak yang bingung.

Untungnya, Paman APIQ sudah mengembangkan metode-metode asyik untuk belajar persamaan garis. Misalnya Paman APIQ sudah menyiapkan kartu sulap persamaan garis. Anak-anak bergembira bermain sulap. Bonusnya, anak-anak paham persamaan garis dan konsep gradien.

Untuk menentukan persamaan garis dari grafik, Paman APIQ juga sudah mengembangkan cara asyik semisal metode Adam Hawa. Kita sudah akrab bahwa Adam Hawa adalah pasangan harmonis sejarah manusia. Demikian juga x y adalah pasangan harmonis dalam diagram grafik garis kita.

Tentu saja persamaan garis yang sederhana adalah bila grafiknya melalui
titik O(0 , 0).

y = mx

Misal melalui A(2 , 6) maka

6 = m(2)
y = 3x (Selesai).

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , , ,

Berhitung Cepat dengan Segitiga Primitif Irasional

Posted on Agustus 2, 2011 | Tinggalkan komentar

Mari kita memperluas segitiga primitif ke segitiga siku-siku irasional. Dengan memanfaatkan segitiga primitif kita dapat berhitung dengan begitu cepat dan begitu mudah.

Paman APIQ memberikan tantangan yang menarik.

Hitunglah panjang diagonal bidang dan diagonal ruang dari sebuah kubus yang panjang rusuknya = 17.

Jawab:
diagonal bidang = 17 akar 2
diagobal ruang = 17 akar 3

Tentu kita dapat dengan mudah menghitung tantangan di atas. Bentuk primitif dari segitiga-segitiga pada kubus adalah segitiga yang terbentuk pada kubus dengan rusuk = 1.

Kita tahu, untuk rusuk = 1,

diagonal bidang = akar 2
diagonal ruang = akar 3.

Sehingga ketika rusuk diperbesar menjadi 17 maka demikian juga dengan diagonal bidang maupun diagonal ruang.

Contoh:
Hitunglah sisi miring dari segitiga siku-siku yang panjang alas = 18 dan panjang tinggi = 27.

Jawab:
9 akar 13 (Selesai).

Tentu kita dapat menghitungnya dengan rumus pythagoras secara langsung.

c^2 = a^2 + b^2
= 18^2 + 27^2

Dengan cara di atas kita terlibat perhitungan kuadrat dan akar yang cukup besar. Tetapi dengan segitiga primitif kita lebih mudah.

c^2 = 2^2 + 3^2
= 13

c = akar 13

Sehingga sisi miring = 9 akar 13 (Selesai).

Sebagai latihan:

Hitunglah sisi miring dari segitiga siku-siku yang panjang sisi lainnya adalah 12 dan 36.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , , , ,

Segitiga Pythagoras Primitif Makin Asyik

Posted on Agustus 2, 2011 | Tinggalkan komentar

Ribuan tahun yang lalu para ahli matematika penasaran untuk menentukan segitiga primitif pythagoras. Kali ini pun Paman APIQ juga tertarik untuk membahas segitiga primitif.

Segitiga primitif adalah segitiga siku-siku yang panjang setiap sisinya berupa bilangan bulat paling sederhana.

Misal,

a = 3, b = 4, c = 5 adalah segitiga primitif.

a = 6, b = 8, c = 10 adalah bukan segitiga primitif. Karena segitiga ini dapat kita buat lebih sederhana (3, 4, 5) x 2.

Teorema:

Semua segitiga ganjil pertama adalah segitiga primitif.

Contoh:

3, 4, 5
5, 12, 13
7, 24, 25
9, 40, 41
11, 60, 61

Bukti:
Karena segitiga ganjil pertama maka c = b + 1.
Sedangkan pasangan bilangan b dan b + 1 adalah pasangan koprima maka segitiga tersebut adalah segitiga primitif. (Terbukti).

Teorema:

Semua segitiga ganjil kedua adalah segitiga bukan primitif.

Bukti:
Segitiga ganjil kedua maka c = b + 3

a^2 = c^2 – b^2
= (c + b)(c -b)
= (c + b)(3)

Atau

(a^2)/3 = c + b

Karena c + b adalah bulat maka (a^2)/3 harus bulat.
Maka a^2 harus kelipatan 3 maka a harus kelipatan 3.

a kelipatan 3 ===> a^2 kelipatan 9 ==> (a^2)/3 kelipatan 3

c + b = (b + 3) + b = 2b + 3 (adalah kelipatan 3) maka b adalah kelipatan 3.

c = b + 3 ===> c kelipatan 3

Karena a, b, dan c adalah kelipatan 3 maka segitiga tersebut tidak primitif. (Terbukti).

Teorema:
Segitiga genap pertama adalah berselang-seling antara primitif dan tidak primitif.

Contoh:
4, 3, 5 (primitif)
6, 8, 10 (tidak primitif)
8, 15, 17 (primitif)
10, 24, 26 (tidak)
12, 35, 37 (primitif)

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , ,

Mengawali Belajar Matematika dengan Aljabar

Posted on Agustus 1, 2011 | Tinggalkan komentar

Siswa SMP kelas 2 atau kelas 8 baru mulai belajar langsung mendapat tema aljabar. Tema aljabar ini pun cukup menakjubkan bagi anak-anak karena melibatkan bentuk kuadrat.

Karena

x = 3 ===> x^2 = 9 adalah benar

maka anak-anak berharap konversnya (kebalikannya) juga benar.

x^2 = 9 ===> x = 3

Dalam beberapa kasus konvers di atas memang bernilai benar tetapi tidak lengkap. Bentuk lebih lengkapnya adalah,

x^2 = 9 ===> x = 3 OR x = -3

Melibatkan bilangan negatif tidak selalu mudah. Paman APIQ senantiasa berhati-hati membahas bilangan negatif ini. Ketika Paman APIQ masih duduk di bangku SMP pernah berdebat dengan gurunya masalah bilangan negatif yang dikuadratkan. Untunglah Paman APIQ mempunyai guru yang baik sehingga dapat bimbingan yang benar.

x = 5 ===> -x^2 = …?

Banyak orang menjawab dengan 25.

Banyak guru yang menjawab dengan 25. Mengapa? Bukankah setiap bilangan (riil) bila dikuadratkan selalu bernilai positif?

Bandingkan dengan yang di bawah ini.

x = -5 ===> x^2 = …?

Jawaban 25 memang benar.

Salah paham dengan hal sederhana di atas dapat berakibat salah hitung pada proses aljabar selanjutnya. Tanda minus dan plus sangat penting dalam aljabar. Beda sedikit tanda saja dapat mengubah persamaan kuadrat yang memiliki 2 akar bulat menjadi akar kompleks.

Sesuai namanya, akar kompleks membutuhkan proses yang lebih rumit lagi untuk menyelesaikannya. Meski kita sudah memiliki rumus abc tetapi anak-anak tidak selalu gembira bila harus berhubungan dengan akar kompleks.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , , , ,

Berhitung Cepat Kuadrat dan Akar dengan Permainan

Posted on Agustus 1, 2011 | Tinggalkan komentar

Paman APIQ mengenalkan konsep kuadrat dan akar menggunakan permainan persegi milenium. Anak-anak kecil usia TK dan SD seperti Algeometi sangat senang bermain persegi milenium yang juga memanfaatkan keindahan super marble. Dengan asyik bermain, anak-anak kita menjadi menguasai konsep kuadrat dan akar sampai mahir. Itulah asyiknya belajar matematika bersama Paman APIQ.

Dengan permainan persegi ini anak-anak kita menguasai konsep akar bahkan sampai akar irasional. Jika konsep sudah dikuasai dengan baik maka anak-anak kita dengan mudah mengembangkan cara berhitung cepat baik untuk kuadrat mau pun akar.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , , , ,