Archive Bulanan: Februari 2011

Menebak Luas Lingkaran dengan Persegi

Posted on Februari 4, 2011 | Tinggalkan komentar

“Mengapa luas lingkaran adalah L = pi x r x r ?”

“Sekedar menebak saja yuk…” ajak Paman APIQ.

Bayangkan sebuah lingkaran yang berjejari = r. Dengan mudah kita dapat membuat persegi (bujur sangkar) dengan jejari r + r = 2r. Luas persegi ini,

L persegi luar = (2r) x (2r) = 4r.r

Luas Lingkaran = L < 4r.r

Sekarang sedikit harus usaha keras. Buat persegi di dalam lingkaran. Salah satu caranya buatlah diameter lingkaran yang saling tegak lurus. Diameter-diameter ini akan memotong lingkaran di empat titik. Hubungkan empat titik potong ini maka akan membentuk persegi dalam lingkaran.

Berapa luas persegi dalam ini?

Dengan Pythagoras kita tahu panjang sisi persegi dalam ini adalah r x akar 2. Sehingga,

Luas persegi dalam = (r x akar 2) x (r x akar 2) = 2r.r

Dapat kita lihat dengan jelas,

Luas persegi dalam < Luas lingkaran.

Dengan demikian kita dapat menebak luas lingkaran lebih dari persegi dalam tetapi kurang dari persegi luar.

2r.r < Luas Lingkaran < 4r.r

Tebakan yang mudah adalah tengah-tengahnya,

Luas lingkaran = 3r.r

Tebakan ini tidak terlampau meleset dengan perkiraan luas lingkaran umum kita pakai yaitu dengan pi = 3,14 = 22/7.

Luas lingkaran = 3,14 r.r = 22/7 r.r

Yang terpenting dari proses menebak ini adalah anak-anak memiliki intuisi perbandingan luas lingkaran dengan luas persegi yang mendekati. Paman APIQ sendiri telah membuktikan luas lingkaran = luas segitiga = 1/2 a.t dengan meminjam teori kalkulus.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , ,

Berhitung Cepat, Berpikir Cepat dengan Mengenali Pola Bertingkat

Posted on Februari 3, 2011 | 1 Komentar

Algeometi bergembira bermain tebak-tebakan pola bersama Paman APIQ. Dengan menampilkan matematika sebagai menebak pola maka kita berhasil mengubah persoalan rumit menjadi asyik.

Hitunglah…

1 + 3 + 5 + …. … …. + 2011 = ?

Jawab:

Dengan memakai rumus kita bertanya-tanya rumus apakah gerangan?
Jika kita menjumlahkan beneran secara urut dari awal sampai akhir maka akan membutuhkan waktu dan ketelitian.

Alternatif solusinya adalah menggunakan otak kanan yang sering dilatihkan oleh Paman APIQ.

1 + 2011 = 2012
3 + 2009 = 2012

dan seterusnya….

Tetapi Algeometi juga telah mengenali pola jumlah bilangan ganjil.

1 = 1^2

1 + 3 = 4 = 2^2

1 + 3 + 5 = 9 = 3^2

1 + 3 + …. …. …. + 2011 = 1006^2 = ….

Tugas berikutnya adalah menghitung kuadrat. Tentu kita mudah menghitungnya dengan teknik PDKT atau Bintang khususnya Bintang Gendut. Kali ini kita akan menghitungya dengan pola,

Modal:
Untung:
Bonus:

1006^2 = (1000 + 6)^2

Modal = 1.000 x 1.000 = 1.000.000 = 1 juta
Untung = 6.000 + 6.000 = 12.000 = 12 ribu
Bonus = 6 x 6 = 36

Jawab: 1 juta 12 ribu 36 = 1.012.036 (Selesai).

Mari berlatih….

1007^2 = … …. ….
1008^2 = … …. ….
1009^2 = …. …. ….

Berikutnya, Paman APIQ memberi tantangan yang lebih menarik lagi untuk mengenali pola.

Terdapat banyak segitiga sama sisi dengan panjang 1 satuan.

1. Buatlah segi enam beraturan panjang sisi 1 satuan dengan segitiga tersebut. Berapa segitiga yang diperlukan?

2. Buatlah segi enam beraturan panjang sisi 2 satuan dengan segitiga tersebut. Berapa segitiga yang diperlukan?

3. Buatlah segi enam beraturan panjang sisi 100 satuan dengan segitiga tersebut. Berapa segitiga yang diperlukan?

Jawab:
Untuk soal 1 jelas kita perlu 6 segitiga.

Untuk soal 2, dengan ketelitian, kita menemukan perlu 24 segitiga.

Untuk soal 3 kita perlu mengenali pola. Tebakan Algeometi mengenai pola bilangan ganjil akan banyak membantu kita.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 1 Komentar

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , , , ,

Cara Cepat Menghitung Luas Lingkaran dengan Perbandingan

Posted on Februari 2, 2011 | 4 Komentar

Geo mengikat kambingnya dengan tali dan memancangkan di tengah-tengah lapangan rumput. Dengan tali yang dapat diputar itu si kambing dapat makan rumput yang luasnya sampai 20 meter persegi.

Paman APIQ bertanya,

“Jika panjang tali dibuat 2 kali lebih panjang maka berapa luas rumput yang dapat dimakan oleh kambing?”

Luas rumput ini berupa bangun lingkaran dengan jari-jari berupa panjang tali. Kita juga sudah tahu luas lingkaran,

L = pi x r x r

“Tetapi bagaimana kita menghitung luas bila panjang tali r belum kita ukur?”

Kita memang dapat menghitung r dengan memasukkan luas = 20. Tetapi perhitungan ini cukup merepotkan karena akan melibatkan bilangan irasional pi dan juga menarik akar kuadrat.

“Dengan perbandingan lebih mudah,” saran Paman APIQ.

Tampak jelas bahwa luas lingkaran berbanding lurus dengan kuadrat jari-jarinya. Sehingga jika jari-jari diperbesar 2 kali semula maka luas lingkaran akan menjadi 4 kali semula. Dengan cara ini, Geo lebih mudah menghitung luas lingkaran.

jari-jari ===> Luas

r ===> 20
2r ===> 80
3r ===> 180

Mudah bukan?

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 4 Komentar

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , , ,

Rumus Cepat Aljabar Substitusi Atau Eliminasi

Posted on Februari 1, 2011 | 1 Komentar

Berikut adalah kiriman pertanyaan dari Irda melalui internet. Terima kasih atas kiriman soalnya.

Diketahui x adalah 2 digit yang nilainya 13/4 dari jumlah digit – digitnya. Jika 36 ditambahkan dgn x maka menghasilkan digit yang sama tetapi dalam bentuk kebalikannya

mohon di jawab dan berikan caranya

Jawab: 26 (Selesai).

Bagaimana caranya?

Karena 36/9 = 4. Maka selisih dua angka tersebut adalah 4.

15 tidak mungkin karena 13/4 . (1 + 5) bukan bulat.
26 mungkin benar karena 13/4 .(2 + 6) = 26

Bagaimana cara lebih jelasnya?

Baik, mari kita gunakan cara yang sering disebut oleh Paman APIQ sebagai metode substitusi atau eliminasi.

Misal bilangan dua digit tersebut adalah ab maka a adalah puluhan dan b adalah satuan.

nilainya 13/4 dari jumlah digit – digitnya

10a + b = 13/4 (a + b) …….. ……. ………..(1)

Jika 36 ditambahkan dgn x maka menghasilkan digit yang sama tetapi dalam bentuk kebalikannya (atau ba).

36 + 10a + b = 10b + a
36 + 9a = 9b
4 + a = b …………… …………. ……….(2)

Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1)

10a + (4 + a) = 13/4 (a + 4 + a)

11a + 4 = 13 + (13/2)a

(9/2) a = 9

a = 2

maka b = 4 + a = 6

Jadi bilangan tersebut adalah ab = 26 (Selesai).

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 1 Komentar

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , ,