Archive Bulanan: November 2010

Istilah Tan Mewakili Gradien dengan Baik

Posted on November 30, 2010 | Tinggalkan komentar

Paman APIQ meyakini bahwa istilah sangat penting dalam membantu pemahaman. Karena itu Paman APIQ terus berusaha mencari istilah yang lebih memudahkan anak-anak belajar matematika.

Gradien misalnya, cukup sulit bagi anak-anak untuk menangkap maknanya secara intuitif. Untungnya gradien memiliki padanan yang menarik yaitu tangen.

gradien = tangen

Penulisan tangen juga memiliki dua versi:

tangen = tg = tan.

Paman APIQ lebih memilih tan.

Banhkan kita dapat membaca,

tan = tanjakan = tan.

Apakah tan itu?

Tan adalah tanjakan yaitu suatu ukuran yang menunjukkan tingkat tanjakan dari suatu garis lurus.

Bagaimana lebih jelasnya?

Misal suatu titik melalui titik A(-5 , 0) dan B(0 , 7) maka tentukan gradien atau tan garis tersebut!

Jawab:
Adam Hawa bergerak dari titik A ke titik B. Adam Hawa bergerak ke atas 7 langkah kemudian ke kanan 5 langkah maka sampai titik B.

tanjakan = tan = 7/5.

Jadi tanjakan merupakan perbandingan dari langkah ke atas dibanding dengan langkah ke kanan. Paman APIQ juga pernah menyebutnya sebagai perbandingan prestasi dengan usaha.

Contoh soal:
Tentukan gradien (tan) dari persamaan garis yang melalui titik O(0 , 0) dan C(4 , 9).

Jawab:
Adam Hawa bergerak dari O menuju C. Adam Hawa menanjak ke atas 9 langkah dan ke kanan 4 langkah. Maka,

gradien = tan = 9/4 (Selasa).

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , , , ,

Apakah Ada Bilangan Real untuk Cos(pi/7) ?

Posted on November 30, 2010 | Tinggalkan komentar

Judul dari tulisan ini memang kalimat tanya.

Apakah ada bilangan real (riil) yang menyatakan langsung nilai dari cos(pi/7) ?

Dalam matematika kita sudah biasa menemukan solusi berupa himpunan kosong. Bagi pemula kadang kecewa bila solusinya adalah himpunan kosong. Tetapi solusi himpunan kosong adalah solusi yang luar biasa.

Tentu saja solusi dari cos(pi/7) adalah bilangan real [0 , 1].

0 < cos(pi/7) < 1

Wolframalpha.com memberi kita nilai aproksimasi cos(pi/7) = 0,90097…
(Lihat wolframalpha dengan klik di sini.)

Mari kita lanjutkan dengan pertanyaan yang lebih seru. Pertanyaan kiriman dari Pak Hussain.

Pagi, Mas Angger saya ada soal dari cucu yang belum terpecahkan, walaupun dengan Wolframalpha sudah terjawab, tapi caranya gimana ? Ini soalnya : cos(pi/7)*cos(2pi/7)*cos(4pi/7) = ? (jawaban dari wolframalpha
= ( -1/8), Terima kasih Wassalam.

Kemudian saya menjawab:

Salam P Hussain,

Saya coba hitung hasilnya masih mengandung sin atau cos dari pi/7.
Betul, wolframalpha memberi jawaban = -1/8.
Bahkan saya cek cos(pi/7) juga belum istimewa = 0,9…

Tampaknya harus coba-coba lagi nih.
Terima kasih….

Setelah saya timbang-timbang lagi tampaknya soal di atas tidak memiliki solusi exact tanpa mengandung fungsi trigonometri.

Pertimbangan saya adalah, kita memiliki sudut istimewa 0, pi/2, dan pi/3. Karena itu kita hanya dapat menghitung nilai trigonometri secara exact hanya jika kita dapat membentuk argumennya dari 0, pi/2, atau pi/3.

Kita dapat menyebut sudut-sudut berikut juga istimewa.

pi/4 = (pi/2)/2
pi/8 = (pi/4)/2
pi/16 = (pi/8)/2
….

pi/6 = (pi/3)/2
pi/12 = (pi/6)/2
pi/24 = (pi/12)/2
….

Manipulasi dari sudut-sudut di atas juga dapat kita anggap sebagai sudut istimewa.

Tetapi untuk pi/7 saya belum menemukan cara untuk menguraikannya menjadi sudut-sudut istimewa. Sehingga dugaan saya,

cos(pi/7)*cos(2pi/7)*cos(4pi/7) tidak memiliki solusi exact berupa bilangan real secara langsung.

Soal tersebut hanya memiliki solusi yang masih mengandung ungkapan trigonometri atau fungsi transenden lainnya. Karena itu soal di atas lebih cocok sebagai soal identitas trigonometri dan kita diminta membutikan kebenaran dari identitas tersebut.

Bahkan wolframalpha memberi jawaban = -1/8 juga merupakan aproksimasi dari -0,124000000….

Bagi teman-teman yang memiliki ide untuk solusi exact atau lainnya silakan berbagi ya…

Hasil dari komputasi wolframalpha dapat kita lihat dengan klik di bawah ini.

wolframalpha.com

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , ,

Tugas Akhir CI 2010

Posted on November 29, 2010 | 1 Komentar

Buatlah artikel di blog personal Anda tentang “Spiritual Creativity” (tugas personal).

Tulisan Anda dapat merujuk kepada kumpulan tulisan saya di bawah ini.

Kumpulan tulisan.

Salam sukses!

→ 1 Komentar

Posted in Inspirasi

Tagged

Pengguna Ekstrem Membantu Inovasi Matematika Kreatif

Posted on November 29, 2010 | 1 Komentar

Banyak hal dan wawasan baru yang dapat kita peroleh dari para pengguna ekstrem. Pengguna ekstrem kita kelompokkan menjadi dua golongan. Pertama adalah golongan pengguna ahli yaitu orang-orang yang sangat mahir di bidangnya. Kedua adalah golongan umum yaitu orang yang tidak tahu sama sekali masalah kita.

Pengguna-pengguna ekstrem di atas benar-benar memicu wawasan orisinil yang sangat menantang. Pengguna ahli membantu kita mencermati ide apakah ada yang kurang secara teoritis, memberi batasan-batasan, dan kadang kritik yang sangat pedas. Semua berguna bagi inovasi. Sedangkan pengguna umum membantu kita bagaimana orang banyak memanfaatkan ide kita. Sehingga ide kita lebih bermanfaat secara luas.

Paman APIQ punya pengalaman menarik dengan pengguna ekstrem.

Suatu ketika Paman APIQ menunjukkan suatu cara memahami integral trigonometri kepada temannya. Lalu sang teman berkomentar,

“Jika orang pada umumnya menyelesaikan integral trigonometri dengan rumus-rumus, kini Paman APIQ menyelesaikannya secara visual. Itu merupakan suatu tingkatan yang lebih tinggi.”

Hal ini memancing ide untuk mengembangkan kekuatan visual dalam belajar matematika secara luas.

Pada kesempatan lain Paman APIQ mencoba menggambar persamaan garis. Dari garis pada diagram cartesius, Paman APIQ menuliskan persamaan garisnya.

3x + 4y = 12

“Mengapa yang 3 dikalikan x dan yang 4 dikalikan y ?” tanya seorang siswa.

“Mengapa tidak sebaliknya?”

Jawaban pertama yang muncul adalah agar persamaan yang kita butuhkan menjadi benar. Ini jawaban yang benar. Tetapi bagi pengguna ekstrem belum tentu menjawab perntanyaan yang penting.

Alternatifnya adalah menggunakan istilah yang sudah dikenal oleh para pengguna ekstrem: ADAM dan HAWA.

x : ADAM
y : HAWA

Dari gambar diketahui bahwa garis melalui (0, 3) dan (4 , 0)

“Ini titik berapa?” tanya Paman APIQ.
“(0 , 3),” jawab siswa.
“Yang 3 Adam atau Hawa?”
“Hawa.”

“Maka ia membutuhkan Adam.”

Jadilah: 3x

Begitu juga dengan titik (4 , 0). Yang adalah Adam. Maka ia membutuhkan Hawa.

Jadilah: 4y.

Sehingga kita memperoleh,

3x + 4y = 12.

Para siswa tahu bahwa 12 diperoleh dari 3 x 4. Tetapi mengapa mereka harus dikalikan?

“3 tadi Adam atau Hawa?”
“Hawa.”

“Yang 4?”
“Adam.”

“Maka mereka harus disatukan antara Adam dan Hawa.”

3 x 4 = 12.

“Oooo… ini cerita tentang Adam dan Hawa ya…kirain belajar matematika?” komentar para siswa.

“Hihihi….” Algeometi cekikikan.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 1 Komentar

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , , ,

Training APIQ Berlanjut 18 Desember di Jakarta

Posted on November 27, 2010 | Tinggalkan komentar

Puji syukur kami panjatkan ke hadhiratNya, training APIQ berjalan dengan sangat sukses. Silakan bergabung dalam training APIQ berikutnya, yang kami rencanakan:

Hari: Sabtu
Tanggal: 18 Desember 2010
Waktu: 08.30 s.d 20.30 wib
Tempat: APIQ Jakarta

Investasi: FREE bagi Anda yang sudah pernah mengikuti training APIQ sebelumnya. Rp 750.000,- bagi peserta baru dan FREE mengikuti training APIQ berikutnya.

Pengalaman training hari ini sangat meriah. Terobosan inovasi dari keluarga besar APIQ sangat mempesona. Permainan sulap gradien sangat seru. Permainan menghafal bilangan jutaan sampai ratusan jenis juga sangat dahsyat. Terima kasih atas dukungan teman-teman semua.

Dan selamat menikmati inovasi-inovasi terbaru matematika kreatif pada 18 Desember mendatang…

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , ,

Hal-hal Kecil Mengantar Sukses

Posted on November 26, 2010 | Tinggalkan komentar

Saya hobi main badminton. Saya sendiri termasuk yang mahir badminton di kalangan orang biasa. Ada beberapa hal kecil yang saya amati dalam bermain badminton.

Bagi pemula yang baru main badminton biasanya tidak punya raket. Mereka pinjam raket kepada siapa saja. Mendapat raket bagus mereka main biasa. Jika mendapat raket jelek mereka juga main biasa. Bahkan mereka tidak merasa ada bedanya raket bagus dan raket biasa. Semua terasa biasa saja.

Sementara bagi yang mahir sangat berarti. Jangankan perbedaan raket. Perbedaan kaos kaki saja memberi hasil yang berbeda. Saya misalkan sangat cocok untuk kaos kaki merek Y atau R. Suatu ketika saya memakai kaos kaki A. Hasilnya sangat berbeda.

Bagi yang mahir perbedaan kecil sangat berarti. Bagi orang biasa, perbedaan kecil benar-benar menjadi hal kecil.

Saat itu Paman APIQ kagum kepada Meti kecil, usia 4 tahun, yang sudah mulai menguasai penjumlahan.

“Wah, hebat Kamu Meti! Sudah bisa penjumlahan!” kata Paman APIQ.
“Belum…” Meti ragu-ragu.
“Itu tadi…sudah bisa. 2 + 2 = berapa?”
“4, ” jawab Meti.
“Jika 3 + 2 = berapa?”
“5, ” jawab Meti mantap.

“Nah itu…Kamu sudah lancar penjumlahan!” sahut Paman APIQ.
“O…pertambahan!” jawab Meti.

Penjumlahan dan pertambahan seperti tidak ada beda. Tapi kita perlu menggunakannya dengan baik. Karena mereka memang berbeda.

Perbedaan kecil dapat saja menentukan sukses Anda!

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , ,

Lagi, Permainan Matematika Kreatif Pembuktian Gradien Garis Tegak Lurus

Posted on November 26, 2010 | Tinggalkan komentar

Sambil berdiskusi dengan keluarga besar APIQ, Paman melakukan beberapa eksperimen. Kali ini eksperimen Paman APIQ berupa permainan geometri membuktikan gradien garis sejajar atau yang tegak lurus.

Pertama anak-anak kita kenalkan konsep gradien adalah sebagai ukuran tanjakan. Semakin besar gradien maka akan semakin menanjak garis tersebut.

Bagaimana jika garisnya tidak menanjak? Garis tersebut malah turun ke bawah. Bila turun maka gradien bernilai negatif.

“Kamu punya kartu nama kosong?” tanya Paman APIQ.
“Siap, punya,” sahut Geo.
“Potonglah jadi dua bagian sesuai garis diagonal.”

“Kini kita punya dua segitiga siku-siku kan?”
“Betul, Paman,” kata Geo.

“Tuliskan panjang sisi masing-masing 15, 20, dan 25.”
“Tandai yang panjang 15 sebagai garis g dan panjang 20 sebagai garis h. Mereka berpotongan secara tegak lurus kan?”

Geo mengamati, “Betul.”
“Pasang yang panjang 25 secara mendatar horisontal atau anggap yang panjang 25 berimpit dengan sumbu X.”
“Lalu…” Geo masih ragu-ragu.

“Potonglah segitiga tersebut menjadi dua segitiga siku-siku menurut garis tinggi vertikal atau tegak.”

“Berapa gradien g dan h ?”

Geo masih berpikir.
Dapatkah Anda membantu Geo?

Dengan mengganti ukuran-ukuran di atas dengan variabel maka kita akan menemukan rumus umum yang berlaku.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , ,

Target Menulis 6 Judul Buku di Tahun 2010

Posted on November 25, 2010 | Tinggalkan komentar

Dalam manajemen modern, menetapkan target adalah hal penting. Paman APIQ sendiri menganjurkan agar saya menetapkan target berapa buku yang akan saya tulis dalam tahun 2010 ini. Meski manajemen kuno ada yang memandang tidak terlalu penting menetapkan target. Mengalir bagai air adalah gaya hidup bahagia.

Memang beruntung bagi kita bila dapat hidup mengalir bagai air tetapi di saat yang sampai target tercapai bahkan terlampaui.

Tahun 2010 ini saya menetapkan niat untuk menulis 6 judul buku. Alhamdulilah… tiga judul buku sudah terbit sampai bulan November ini. Mungkinkah menerbitkan 3 judul buku lagi di waktu yang tersisa 1 bulan ini? Mengapa tidak? Bukankah keajaiban sering datang?

Ternyata… target saya masih kurang jelas. Itulah pengalaman!

Target menulis 6 judul buku di tahun 2010 memang sudah terlampaui. Tetapi target menulis 6 judul buku dan diterbitkan di tahun 2010 baru tercapai 50%, alhamdulilah.

Buku saya yang sudah terbit tahun 2010 adalah:

1. APIQ Creative Math Game (Saya sering menyebutnya APIQ 2)
2. Quick Count Quadrat (Saya sering menyebutnya APIQ 3)
3. REKA Sukses Matematika (Saya sering menyebutnya REKA 1)

Terima kasih atas dukungan teman-teman semua.

Sedangkan naskah buku yang sudah saya selesaikan tapi belum diterbitkan ada beberapa. Di antaranya adalah di bawah ini.

1. Buku tentang pecahan
2. Buku tentang kuadrat dasar
3. Buku tentang rubik matematika
4. Buku/komik petualangan Algeometi
5. Buku matematika hibrid
6. Buku REKA 2
7. (Buku REKA 3; hampir)

Ayo… terus berkarya!

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , ,

Gradien, Tangen, dan Turunan

Posted on November 25, 2010 | Tinggalkan komentar

Tampaknya sudah jelas bagi kita bila dua garis sejajar maka mereka memiliki gradien yang sama. Tetapi bagaimana membuktikannya?

Secara intuitif kita sudah selesai. Pembuktian secara formal tetap memerlukan analisis yang cermat. Salah satu cara pembuktian yang mudah adalah dengan konsep tangen = tan = tg.

Misal kita memiliki garis g yang membentuk sudut a terhadap sumbu-X. Dengan menggeser garis g ke kanan atau kiri, ke atas atau ke bawah maka kita akan menghasilkan garis h. Garis h ini tetap sejajar dengan g.

Karena sejajar dengan g maka garis h juga membentuk sudut a terhadap sumbu-X.

Gradien garis g = tan(a) = gradien garis h (Terbukti).

Bagaimana dengan garis tegak lurus?

(Untuk bagian ini, akan sangat membantu bila kita sambil membuat gambarnya.)

Misal garis g dan h berpotongan tegak lurus di C(0 , c).
Garis g memotong sumbu X di A (a , 0) ; misal a negatif.
Garis h memotong sumbu X di B (b , 0) ; b positif.

Gradien g = tan (CAB) = c/-a
Gradien h = tan ( 180 – ABC) = c/-b

Tetapi dapat juga,
tan (180 – ABC) = tan (180 – OCA) = a/c

Maka

(gradien g) x (gradien h) = (c/-a) x (a/c) = -1 (Terbukti).

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , , ,

Berpesta Inovasi Yuk… Training APIQ 27 November dan 18 Desember

Posted on November 24, 2010 | Tinggalkan komentar

Beberapa hari lagi kita akan bergembira: pesta inovasi matematika kreatif. Mari bergabung dalam training Matematika Kreatif APIQ.

Hari: Sabtu
Tanggal: 27 November 2010
Waktu: 08.30 s.d 17.30 wib
Tempat: Hotel Isola Resort, UPI, Jalan Setiabudi Bandung

Hari: Sabtu
Tanggal: 18 Desember 2010
Waktu: 08.30 s.d 20.30 wib
Tempat: APIQ Jakarta

Investasi: FREE bagi Anda yang pernah ikut training APIQ sebelumnya. Rp 750.000,- bagi peserta baru dan FREE mengikuti training APIQ berikutnya. (Excluded lunch).

Paman APIQ telah menyiapkan beragam inovasi terbaru yang sangat seru. Salah satunya adalah penggunaan kantong ajaib aljabar untuk menangkap sang waktu – persamaan waktu. Descartes, Fermat, dan Newton sangat hebat dengan menggambarkan sumbu waktu. Kantong Ajaib dengan baik mewujudkan waktu menjadi benda nyata.

Yang terbaru lagi, adalah inovasi persamaan garis pendekatan geometri. Selama ini kita memahami persamaan garis cenderung dengan pendekatan aljabar. Karena itu kita banyak menghadapi beragam rumus-rumus.

Saat ini Paman APIQ, mengembangkan persamaan garis pendekatan geometri dengan gambar-gambar. Lebih asyik, seru, dan mudah.

Dengan gambar, kita sangat mudah menentukan persamaan garis. Sebaliknya juga mudah dari persamaan garis dengan mudah kita membuat gambarnya. Konsep gradien tampak jelas dari gambar. Bahkan dengan asyik kita dapat membukti mengapa garis sejajar memiliki gradien yang sama. Dari gambar juga kita dapat dengan mudah membuktikan mengapa perkalian gradien garis yang tegak lurus selalu = -1.

Mari berinovasi…!

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , , ,