Archive Bulanan: Agustus 2010

Dualitas Ungkapan Logika Matematika de Morgan

Posted on Agustus 30, 2010 | Tinggalkan komentar

Augustus de Morgan merumuskan dualitas ungkapan logika matematika. Bukti dari dualitas ini sangat sederhana. Tetapi manfaat dari teorema dualitas ini sangat berguna. Kita dengan mudah dapat membuktikan kebenaran teorema dualitas ini dengan tabel kebenaran atau teori himpunan.

Paman APIQ memanfaatkan dualitas ungkapan ini untuk lebih memahami prinsip logika matematika.

~ (A and B) = ~A or ~B

~ (A or B) = ~A and ~B

Dengan dualitas di atas, kita dapat mengubah ungkapan “and” menjadi ungkapan “or”. Begitu pula sebaliknya.

Karena “and” dan “or” adalah dasar dari logika maka kita dapat mengubah bentuk ungkapan lain ke berbagai bentuk yang sesuai. Dalam perancangan sistem digital kita menggunakan K-map untuk mencari ungkapan yang paling sederhana.

Mari kita terapkan ke contoh.

P : Jika belajar maka pintar.

~P : (sudah) Belajar tetapi TIDAK pintar

~(~P): TIDAK (belajar tetapi TIDAK pintar)

= TIDAK belajar atau pintar.

Karena,

~(~P) = P

maka pernyataan terakhir di atas sama maknanya dengan pernyataan pertama.

Contoh di atas akan lebih jelas lagi bila kita menggunakan kosa kata negatif pada ungkapan implikasi.

Q : Jika TIDAK belajar maka bodoh
~Q : TIDAK Belajar tetapi TIDAK bodoh
~(~Q) : Belajar atau bodoh

Kita ringkas menjadi,

Jika TIDAK belajar maka bodoh = Belajar atau bodoh.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , ,

Mudik, Bersiaplah…

Posted on Agustus 29, 2010 | 2 Komentar

Minggu ini adalah minggu terakhir menjelang mudik.
Siap-siap yuk…

Karena aku dapat kuliah hari senin maka 30 Agustus adalah terakhir sebelum liburan.

Tapi, dengar-dengar ada tambahan tugas sampai 5-6 September.

Jadi, kapan mudik?

→ 2 Komentar

Posted in Inspirasi

Tagged

Kantong Ajaib Aljabar: Belajar UN (Ujian Nasional) 2010 – 2011 dengan Mudah

Posted on Agustus 26, 2010 | 4 Komentar

Al merasa senang karena Paman APIQ menamai jurus barunya dengan “Kantong Ajaib Aljabar.”

Sementara itu, Geo dan Meti tetap saja ikut bergembira karena dapat berpetualang dengan asyik menggunakan “Kantong Ajaib Aljabar.”

Sudah menjadi langganan bahwa setiap tahun, materi perbandingan selalu muncul dalam setiap ujian nasional. Khususnya untuk tingkat SD.

Kantong Ajaib Aljabar secara prinsip memanfaatkan kehebatan persamaan parametrik, parametric equation.

Contoh:
Perbandingan uang Al dan Geo adalah 2 : 3. Jika jumlah uang mereka adalah Rp 2.000.000,- maka berapakah selisih uang mereka?

Jawab:

2k + 3k = 2.000.000
k = 400.000 (Selesai).

Contoh:
Perbandingan uang Al : Geo : Meti = 2 : 3 : 5. Jika jumlah uang mereka adalah Rp 70.000,- maka berapakah uang Geo?

Jawab:
2k + 3k + 5k = 10k = 70.000
k = 7.000
3k = 21.000 (Selesai).

Tentu saja variasi dari soal masih dapat terus kita kembangkan. Yang jelas dengan menggunakan,

k = kantong ajaib aljabar

maka perhitungan perbandingan menjadi sederhana dan mudah.

Dalam teori matematika k seperti di atas disebut sebagai parameter. Himpunan persamaan yang memanfaatkan parameter, sebagai penghubung, disebut sebagai parametric equation.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 4 Komentar

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , , , ,

Berlalu

Posted on Agustus 26, 2010 | Tinggalkan komentar

Cepat atau lambat
Ini pun pasti berlalu

Apa yang kau ukir
Pada lempeng prasasti
Ketika telah berlalu

Prihatin
Gelisah
Ceria
Bangga
Ini pun pasti berlalu

Ke mana kau menuju
Di sini berpacu
Deru debu bercampur nafsu
Akankah berubah jadi ayu

Ini pun pasti berlalu

→ Leave a comment

Posted in Inspirasi

Tagged , ,

Prinsip Logika Penting untuk Menarik Kesimpulan

Posted on Agustus 25, 2010 | Tinggalkan komentar

Paman APIQ masih mengajak kita untuk berdiskusi tentang tema logika menarik kesimpulan.

Terdapat tiga bentuk logika yang sangat penting untuk menarik kesimpulan: implikasi, kontraposisi, dan biimplikasi.

Contoh:

Jika berakhlak buruk maka badan berpenyakit.

Pernyataan di atas adalah implikasi. Sementara anggap juga pernyataan implikasi di atas juga bernilai benar.

Misal diketahui seseorang berakhlak buruk. Apa kesimpulan yang sah?

“Badan berpenyakit.” (Sah).

Selain kondisi di atas kita tidak dapat menarik kesimpulan yang sah.

Misal diketahui seseorang badan berpenyakit. Apa kesimpulan yang sah?

“(pasti karena) Berakhlak buruk.” (Tidak sah.)

Cara lain yang sah untuk menarik kesimpulan adalah dengan mengubah implikasi menjadi kontraposisi. Nilai kebenaran kontra posisi sama atau ekivalen dengan implikasi.

Mari kita ubah implikasi di atas menjadi kontraposisi.

Contoh:
Jika badan TIDAK berpenyakit maka (karena) TIDAK berakhlak buruk.

Misal diketahui badan tidak berpenyakit. Apa kesimpulan yang sah?

“(karena) TIDAK berakhlak buruk.” (Sah).

Kondisi lain tidak sah untuk menarik kesimpulan.

Misal diketahui badan berpenyakit. Apa kesimpulan yang sah?

“(karena) berakhlak buruk.” (Tidak sah).

Cara menarik kesimpulan dengan memanfaatkan implikasi kita kenal sebagai modus ponens. Sedangkan cara menarik kesimpulan dengan cara kontraposisi kita kenal sebagai modus tollens.

Situasi akan menjadi lebih mudah bila situasiya adalah biimplikasi.

Contoh:
Jika dan hanya jika berakhlak buruk maka badan berpenyakit.

Misal diketahui berakhlak buruk. Kesimpulan badan berpenyakit. (Sah).

Diketahui TIDAK berakhlak buruk. Kesimpulan badan TIDAK berpenyakit. (Sah).

Diketahui badan berpenyakit. Kesimpulan (karena) berakhlak buruk. (Sah).

Diketahui badan TIDAK berpenyakit. Kesimpulan (karena) TIDAK berakhlak buruk. (Sah).

Jadi, sangat mudah bagi kita untuk menarik kesimpulan yang sah jika situasinya adalah biimplikasi. Tetapi bagaimana kita tahu bahwa suatu kondisi adalah biimplikasi atau hanya implikasi?

Itulah pertanyaan penting yang perlu kita cermati. Epistemologi memberi kerangka bagi kita untuk menjawabnya.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ Leave a comment

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , , , , ,

Latihan Logika Matematika Menarik Kesimpulan

Posted on Agustus 23, 2010 | 1 Komentar

Paman APIQ kembali mengajak kita untuk berpetualang dengan logika matematika. Kali ini kita akan berlatih menarik kesimpulan.

Paman APIQ menyarankan, untuk sementara, kita membatasi hanya pada 3 cara yang sah untuk menarik kesimpulan – sebenarnya tersedia banyak cara.

Cara menarik kesimpulan kita kali ini berdasarkan prinsip logika implikasi saja.

Jika SYARAT terpenuhi maka HASIL terpenuhi.

Cara 1: POsitif syarat, modus ponens
Premis: SYARAT terpenuhi
Kesimpulan:HASIL terpenuhi

Contoh:
Premis 1:Jika BERIMAN maka BERPUASA
Premis 2: BERIMAN

Kesimpulan: BERPUASA

Cara 2: TOlak hasil, modus tollens
Premis: HASIL TIDAK terpenuhi
Kesimpulan: (karena) SYARAT TIDAK terpenuhi

Contoh:
Premis 1: Jika BERIMAN maka BERPUASA
Premis 2: TIDAK BERPUASA

Kesimpulan: TIDAK BERIMAN

Cara 3: silogisme, runtuntan logis.
Contoh:
Jika BERIMAN maka BERPUASA
Jika BERPUASA maka BERTAKWA

Kesimpulan: Jika BERIMAN maka BERTAKWA.

Sekarang kita siap berlatih…

Berikut adalah kiriman soal latihan dari Pak Hussain. Terima kasih kepada Pak Hussain atas sharingnya.
….

Salam hangat, lagi2 soal penarikan kesimpulan, misalnya dalam soal cucu saya :
Premis 1 : Jika nilai Matematika rendah, maka sulit masuk jurusan IPA
Premis 2 : ……………. (harus diisi apa ?)
Kesimpulan : Sulit masuk jurusan IPA
….

Soal di atas menunjukkan bahwa kesimpulannya HASIL Positif: “Sulit masuk jurusan IPA.”

Modus ponens dapat kita gunakan bila SYARAT POsitif, kesimpulan HASIL Positif.

Jadi, premis 2 harus berupa syarat positif.

Premis 2: Nilai matematika rendah. (Selesai).

…
dan soal lain berikut ini :
premis 1 : bukan p maka bukan q,
premis 2 : bukan q maka r
premis 3 : bukan r
Maka kesimpulan yang sah adalah ?
Tolong dibahas dengan cara APIQ, sebab penjelasan saya kurang dipahami cucu, Wassalam
…

Premis 1 dan 2 membentuk silogisme menghasilkan kesimpulan : premis 4.

premis 1 : bukan p maka bukan q,
premis 2 : bukan q maka r

Kesimpulan: (jika) bukan p maka r (premis 4)

Selanjutnya,

Premis 4: (jika) bukan p maka r
Premis 3: bukan r

Kita perhatikan premis 3 adalah Tolak HASIL. Modus Tollens dapat kita gunakan jika TOlak HASIL dan kesimpulan TOlak SYARAT.

Kesimpulan: BUKAN bukan p = p. (Selesai).

Sedikit catatan tentang soal yang terakhir. Soal ini cukup abstrak bagi siswa, istilah p, q, r. Paman APIQ menyarankan agar kita membuat soal yang lebih nyata bagi siswa.

Premis 1: Jika x BUKAN = genap maka x BUKAN = 6.
Premis 2: Jika x BUKAN = 6 maka x + 2 bilangan ganjil
Premis 3: x + 2 BUKAN bilangan ganjil.

Dengan diubah seperti di atas maka anak-anak pasti lebih mudah memahami.

(Bukan ganjil) ==> (x = 6) ==> (x Genap).

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 1 Komentar

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , , , , ,

Renungan Makna Hari Suci

Posted on Agustus 22, 2010 | Tinggalkan komentar

Hari suci
Hari religi
Telah datang
Hari ini

Jaga kesuciannya
Dengan amal suci
Isi kesuciannya
Dengan diri suci

Kemarin adalah bekal
Esok adalah percik harapan
Hari ini adalah hari suci

Nikmati hari ini
Dengan berbakti, berbagi, mengabdi

Hari suci telah datang
Hari ini adalah hari suci
Sambutlah…

→ Leave a comment

Posted in Inspirasi

Tagged , ,

Kekuatan Logika Matematika untuk Menarik Kesimpulan

Posted on Agustus 21, 2010 | 2 Komentar

Dari awal saya memang tertarik dengan studi logika. Ketika Paman APIQ mengembangkan materi logika secara kreatif maka materi logika semakin menarik lagi. Lebih-lebih beberapa teman dari ITB juga mendukung untuk mengembangkan logika.

Diskusi melalui internet juga menjadikan bahan logika menjadi lebih penting lagi.

Logika matematika merupakan awal yang bagus untuk mempelajari logika. Bahkan Paman APIQ yakin bahwa logika matematika adalah awal yang paling bagus untuk mempelajari logika. Keunggulan dari logika matematika adalah jelas dan sederhana.

Sayangnya logika matematika sering ditampilkan secara tidak logis intuitif. Ini menjadikan logika matematika seperti tidak masuk akal.

Sekarang mari kita ikuti contoh sederhana menarik kesimpulan dengan logika matematika.

Jika kuda maka berkaki empat.
Diketahui kuda.

Kesimpulan?
Pasti berkaki empat. (Selesai). Mudahkan?

Cara menarik kesimpulan seperti di atas kita kenal sebagai modus ponens, atau afirmasi positif.

Mari kita coba lagi.

Jika kuda maka berkaki empat.
Diketahui BUKAN kuda.

Kesimpulan?

Bukan berkaki empat. (TIDAK SAH). Hati-hati.
Pada kondisi seperti ini kita tidak dapat menarik kesimpulan.

BUKAN kuda dapat saja berkaki empat seperti sapi. BUKAN kuda juga dapat TIDAK berkaki empat seperti manusia.

Mari kita lanjutkan.

Jika kuda maka berkaki empat.
Diketahui berkaki empat.

Kesimpulan?
Tidak sah. Kita tidak dapat menarik kesimpulan pada kondisi di atas.

Kita lanjut satu langkah lagi.

Jika kuda maka berkaki empat.
Diketahui TIDAK berkaki empat.

Kesimpulan?
Pasti BUKAN kuda. (Selesai). Kesimpulan yang sah dan valid.

Metode menarik kesimpulan yang terakhir ini kita kenal sebagai modus tollens, tolak konsekuensi.

Satu metode lagi yang sering kita gunakan untuk menarik kesimpulan adalah silogisme.

Jika kuda maka berkaki empat.
Jika berkaki empat maka bertenaga kuat.

Kesimpulan?
Jika kuda maka bertenaga kuat. (Selesai.) Sah.

Paman APIQ mengajak kita untuk mengambil contoh yang agak matematis.

Jika x = 3 maka x^2 = 9
x = 3.

Kesimpulan: x^2 = 9 (SAH). Modus ponens.

Jika x = 3 maka x^2 = 9
x TIDAK = 3.

Kesimpulan: x^2 TIDAK = 9 (TIDAK sah).
Silakan cek jika x = -3.

Jika x = 3 maka x^2 = 9
x^2 = 9.

Kesimpulan: x = 3. (Tidak sah).
Silakan cek x = -3.

Jika x = 3 maka x^2 = 9
x^2 TIDAK = 9.

Kesimpulan: x TIDAK = 3. (SAH). Modus tollens.

Bagaimana menurut Anda?
(Bersambung…)

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 2 Komentar

Posted in APIQ, Inovasi Pembelajaran, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , , , , , ,

Buka Bersama Sore Ini

Posted on Agustus 20, 2010 | 1 Komentar

Beberapa hari ini karena super sibuk dan agak kesulitan koneksi internet saya tidak sempat posting suatu tulisan di blog APIQ.

Sore ini saya juga dapat undangan buka bersama.

Tapi di manakah undangan buka bersama tersebut?

Tampaknya bakal sulit Anda menebaknya.

Buka bersama tersebut adalah di lapangan badminton. Undangannya mulai jam 5 sore. Jadi sebelum tiba magrib, kami bertanding badminton dulu. Olah raga dalam kondisi lapar.

Ayo… siapa mau gabung?

→ 1 Komentar

Posted in Badminton, Inspirasi

Tagged , ,

Contoh Soal Cerita Perbandingan UN SD (UASBN) 2010: Pengantar Aljabar

Posted on Agustus 17, 2010 | 3 Komentar

Seperti sebelumnya, Paman APIQ menegaskan bahwa logika perbandingan adalah awal dari pengenalan aljabar. Setiap tahun, UN SD selalu memunculkan perbandingan.

Mari kita cermati bersama contoh soal UN SD 2010.

15. Perbandingan uang Eva dan Febri 2 : 5. Uang Febri dibanding uang Gandung 3 : 4. Jika selisih uang Eva dan Gandung Rp. 42.000,00. Jumlah uang Eva dan Febri ada ….
A. Rp. 63.000,00
B. Rp. 78.000,00
C. Rp. 105.000,00
D. Rp. 123.000,00

Jawab:
Eva:Febri = 2a : 5a = 6a : 15a
Febri:Gandung = 3a : 4a = 15a : 20a

Gandung – Eva = 42.000 = 20a – 6a = 14a
Maka a = 3.000

Eva + Febri = 6a + 15a = 21a = 63.000 (Selesai).

Alternatif pendekatan Aljabar.

x/y = 2/5 maka x = (2/5)y
y/z = 3/4 maka y = (3/4)z atau z = (4/3)y

z – x = 42.000
(4/3)y – (2/5)y = 42.000
[(20 - 6)/15] y = 42.000
(14/15)y = 42.000

x + y = ?
= (2/5)y + y
= (7/5)y
= (7/5)(15/14).42000
= (3/2)42000
= 63000 (Selesai).

Catatan:

Dua cara penyelesaian di atas sama-sama sah. Bahkan Paman APIQ yakin masih ada cara lain lagi.

Cara pertama yang menggunakan logika perbandingan tampak lebih mudah dan intuitif. Anak-anak perlu belajar logika perbandingan ini dengan baik.

Cara kedua tampak lebih terstruktur karena menggunakan metode substitusi aljabar. Seperti kita lihat, contoh soal sederhana ini ternyata melibatkan sistem persamaan 3 variable. (Hal ini mohon jadi pertimbangan para pembuat soal).

Bila anak-anak mengenal pendekatan aljabar ini maka mereka memperoleh banyak keuntungan belajar matematika tingkat lanjut.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 3 Komentar

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , ,