Sekali lagi permainan Rubik menantang kita untuk memanfaatkannya sebagai media pembelajaran matematika kreatif. Kali ini Paman APIQ mengajak kita memanfaatkan Rubik untuk mempelajari teori permutasi.
Berbagai macam pendekatan solusi Rubik pada akhirnya akan bertemu pada langkah lapis akhir (last layer). Metode Sang Merah Putih yang dikembangkan Paman APIQ pun banyak beririsan dengan metode-metode lain semacam CFOP Fridrich, Lars Petrus, ZB, dan lain-lain. Mari sekarang kita fokus pada solusi lapis akhir dengan asumsi semua sisi (edge) telah terorientasi menghadap kiblat yang benar.
Kita memiliki tiga tugas utama untuk menyelesaikan lapis akhir ini.
a. Menghadapkan (orientasi) 4 pojok ke arah kiblat yang benar. Umumnya menghadap ke atas. Pojok baik.
b. Menukar atau memasang (permutasi) 4 pojok ke posisi yang benar. Pojok benar.
c. Menukar atau memasang (permutasi) 4 sisi ke posisi yang benar. Sisi benar
Tiga tugas utama di atas dapat dilakukan seara terpisah atau bersama-sama. Sang Merah Putih Tingkat Lanjut Versi 3 melakukan tiga tugas di atas dengan 3 langkah berbeda. Pojok baik menggunakan jurus Kah dan saudara. Pojok benar dengan jurus Haji dan saudara. Terakhir sisi benar dengan jurus MM dan saudara. Dengan cara ini Sang Merah Putih hanya memerlukan sedikit tambahan algoritma sekitar 10 algoritma saja. Bandingkan dengan CFOP yang memerlukan sekitar 28 algoritma memori.
Mari kembali kita analisa banyaknya permutasi untuk lapis akhir ini. Ada berapa macam permutasi sisi untuk lapis akhir ini?
Permutasi dari 4 elemen tentu saja adalah 4! = 4.3.2.1 = 24.
Tetapi untuk Rubik permutasi legal hanyalah permutasi genap saja. Sehingga kita harus membagi 2 menjadi 24/2 = 12 macam permutasi.
Apa sajakah 12 macam permutasi tersebut?
Misal kita menandai 4 sisi dengan angka 1, 2, 3, dan 4. Ada 8 permutasi yang dapat kita selesaikan dengan jurus MM. Yaitu anggap sisi 1 posisi benar, dan sisi 2, 3, 4 membentuk pola bilangan jam 3an. Maka ada 2 kemungkinan permutasi yaitu jam 1 dan jam 2. Karena ada 4 pilihan untuk menjadi sisi benar maka total permutasi adalah 4 x 2 = 8 permutasi.
Tentu saja jam 3 atau jam 0 kita hitung sebagai 1 permutasi tersendiri.
Terdapat 2 permutasi yang dapat kita selesaikan dengan jurus TanTe E. Permutasi ini adalah sisi 1 tertukar dengan sisi 2 tentu sisi 3 tertukar dengan sisi 4. Permutasi kedua adalah sisi 1 tertukar dengan sisi 4 tentu sisi 2 tertukar dengan sisi 3.
Terakhir ada 1 permutasi yang dapat kita selesaikan dengan jurus Tante Ah yaitu sisi 1 tertukar dengan sisi 3 tentu sisi 2 tertukar dengan sisi 4. Yang menarik adalah karena hanya ada 1 macam permutasi yang dapat kita selesaikan dengan jurus Tante Ah maka jurus Tante Ah dapat kita kerjakan dari arah mana pun akan memberi hasil sama. Jadi, kita mengerjakan jurus Tante Ah dari depan, kiri, kanan, atau belakang maka akan memberi hasi yang sama.
Total permutasi sisi adalah 8 + 1 + 2 + 1 = 12.
Dengan cara yang sama, total permutasi pojok adalah 12 juga.
8 permutasi dapat kita selesaikan dengan jurus Haji.
1 permutasi telah benar.
2 permutasi dapat kita selesaikan dengan jurus Kiai.
1 permutasi dapat kita selesaikan dengan jurus Ulama..
Untuk menghadapkan (orientasi) 4 pojok ke arah kiblat yang benar kita menghitung dengan cara yang sedikit berbeda.
Masing-masing pojok memiliki 3 arah kiblat yang mungkin. Karen ada 4 pojok maka banyaknya permutasi adalah,
3.3.3.3 = 81 permutasi.
Tetapi ternyata pojok terakhir tidak bebas menentukan arah kiblat. Jika 3 pojok yang lain telah dipastikan arah kiblatnya maka pojok ke-4 tidak memiliki pilihan lain. Sehingga banyaknya permutasi hanya,
3.3.3 = 27 permutasi.
2 permutasi bentuk mobil (KAH AKEH AKAAH)
4 permutasi bentuk becak (KAAKKEK KEK KEEK)
8 permutasi bentuk ikan (KAH AKAAH dan isometris)
4 permutasi bentuk alis (UAAIAA KAA UAAIAA HAA)
4 permutasi bentuk talingo (KBUP HBIP)
4 permutasi bentuk diago (BUPK BIPH)
1 permutasi telah benar
Total permutasi adalah : 2+4+8+4+4+4+1 = 27.
Bila tiga tugas di atas kita satukan maka banyaknya permutasi adalah,
12 x 12 x 27 = 3888 permutasi.
Banyak juga ya?
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)