Kontradiksi: Prinsip Dasar Logika Matematika

Kontradiksi adalah hubungan dua pernyataan yang selalu berlawanan. Misalnya jika a berkontradiksi dengan b maka a salah jika dan hanya jika b benar. Dan a benar jika dan hanya jika b salah.

Tentu, contoh sederhana dari kontradiksi adalah suatu pernyataan dengan negasinya sendiri. Pernyataan p pasti berkontradiksi dengan ~p (negasi p)

Meski konsep kontradiksi tampak sederhana tetapi aplikasinya sangat luas dan berguna. Sering kita sulit membuktikan apakah pernyataan p itu benar atau salah. Dengan konsep kontradiksi, kita dapat mengasumsikan bahwa negasi p bernilai benar. Lalu dengan beberapa proses kita berhasil menunjukkan bahwa ~p ternyata bernilai salah (seringnya karena terjadi kontradiksi).

Karena ~p bernilai salah maka kita dapat menyimpulkan bahwa p bernilai benar (terbukti, dengan prinsip kontradiksi).

Contoh: Buktikan bahwa setiap bilangan komposit (bukan bilangan prima) selalu dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari beberapa bilangan prima.

Misal,
6 = 2.3
8 = 2.2.2
40 = 2.2.2.5
70 = 2.5.7
1000 = 2.2.2.5.5.5

Seberapa pun banyaknya contoh yang kita berikan seperti di atas masih belum membuktikan bahwa setiap bilangan komposit selalu dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan prima. Misal s adalah bilangan komposit yang lebih dari 1 juta. Apakah s dipastikan juga dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan prima? Jika benar, bagaimana dengan bilangan-bilangan komposit besar yang lain?

Pertanyaan di atas tidak akan ada habisnya. Kita perlu pembuktian yang lebih kuat tidak sekedar memberi contoh. Mari kita gunakan konsep kontradiksi.

Misal terdapat himpunan K = {a, b, c, ….} yang beranggotakan seluruh bilangan komposit yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan prima. Himpunan K juga sudah terurut dari bilangan a yang terkecil.

Karena a adalah komposit maka,

a = m.n

Jika m atau n adalah prima maka kontradiksi. Karena a tidak dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan prima.

Jika m atau n adalah komposit ada dua kemungkinan. Pertama m atau n adalah komposit yang dapat dinyatakan hasil kali bilangan prima. Hal ini juga akan kontradiksi karena mengakibatkan a dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan prima.

Kedua, m dan n adalah bilangan komposit yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan prima. Hal ini juga kontradiksi karena a adalah bilangan komposit terkecil anggota K.

Dengan seluruh kontradiksi ini kita menyimpulkan bahwa himpunan K tidak memiliki anggota atau K = {}.

Karena K adalah himpunan kosong maka, dengan kontradiksi, yang benar adalah sebaliknya: semua bilangan komposit selalu dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan prima.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

About these ads

One response to “Kontradiksi: Prinsip Dasar Logika Matematika

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s