Archive Bulanan: Juni 2010

Tagged APIQ, energi mekanik, matematika kreatif

Penerapan dan Asyiknya Belajar Bilangan Pecahan

Posted on Juni 29, 2010 | 1 Komentar

“Tuhan menciptakan bilangan asli. Bilangan yang lain adalah kreasi manusia.”

Begitulah salah seorang pecinta matematika mengungkapkan kekagumannya kepada sistem bilangan. Bilangan pecahan merupakan salah satu jenis bilangan yang bukan bilangan asli. Konsekuensinya, tidak selalu mudah mempelajari konsep bilangan pecahan.

Paman APIQ telah menulis naskah buku tentang konsep bilangan pecahan. Dalam buku tersebut Paman APIQ telah membahas cara asyik belajar bilangan pecahan. Ternasuk belajar pecahan dengan bermain lingkaran milenium. Bahkan sulap pecahan dengan kartu ajaib juga dapat dimasukkan. Tentu saja seni berhitung cepat pecahan tetap menjadi idola.

Meski demikian, Paman APIQ masih terus ingin mengembangkan agar naskah buku tersebut menjadi lebih seru lagi. Berikut ini adalah beberapa ide pengembangan tema bilangan pecahan:

1. Konsep perbandingan dan jembatan menuju kerajaan aljabar
2. Luas sektor lingkaran
3. Luas kurva sebagai perbandingan dengan luar persegi panjang
4. Bilangan rasional dan irasional
5. Faktorisasi aljabar

Paman APIQ bahkan masih berpikir apakah memungkinkan memasukkan penerapan pecahan untuk bidang yang bukan matematika. Misalnya untuk rangkaian listrik, konsep mol, dan lain-lain.

Salah satu konsep yang baru dalam buku ini adalah luas kurva sebagai perbandingan atau pecahan dari luas persegi panjang. Seperti kita ketahui luas persegi panjang adalah perkalian panjang x lebar. Paman APIQ mengubahnya agar lebih praktis bahwa luas persegi panjang adalah panjang x lebar = alas x tinggi.

Maka teorema Paman APIQ menunjukkan bahwa,

Luas segitiga = 1/2 a.t

Luas kurva kuadrat = 1/3 a.t atau 2/3 a.t

Luas kurva kubik = 1/4 a.t atau 3/4 a.t

Luas sinus kuadrat = 1/2 a.t

Luas lingkaran = 1/2 a.t

Yang menarik dari konsep perbandingan luas ini adalah rumusnya sederhana dan intuitif. Sehingga anak-anak mudah menghafalnya karena semua berbentuk alas x tinggi. Dan anak-anak mudah menalarnya dengan cara membandingkan luas persegi panjang.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Tagged APIQ, kursus matematika, matematika kreatif, pecahan, perbandingan

Manfaat Matematika untuk Menghitung Cepat FIFA World Cup 2010

Posted on Juni 28, 2010 | Tinggalkan komentar

Matematika sangat membantu bagi panitia FIFA World Cup untuk menghitung banyaknya pertandingan. Bagi masyarakat Indonesia yang sebentar lagi merayakan HUT proklamasi matematika juga banyak membantu untuk menghitung banyaknya perlombaan.

Cara paling sederhana untuk menyelenggarakan perlombaan adalah dengan sistem gugur. Paman APIQ telah menuliskan pada bagian sebelumnya bahwa banyaknya pertandingan pada sistem gugur membentuk barisan atau deret geometri.

Misal hanya ada 2 tim maka 1 pertandingan. (Langsung final)
Ada 4 tim maka 1 + 2 = 3 pertandingan
Ada 8 tim maka 1 + 2 + 4 = 7 pertandingan

Dengan rumus deret geometri, kita dapat menghitung banyaknya pertandingan adalah,

S = $\frac {a(r^n - 1)}{r - 1}$

r = 2, maka

S = $\frac {1(2^n - 1)}{2 - 1}$

= $2^n - 1$

2^n adalah banyaknya tim yang bertanding.

Jadi banyaknya pertandingan adalah banyaknya tim itu sendiri dikurangi 1.

Misal untuk Piala Dunia 16 besar maka banyaknya pertandingan adalah 16 – 1 = 15.
Seandainya 32 tim langsung sistem gugur maka 32 – 1 = 31.
Jika 64 tim maka 64 – 1 = 63.

Kenyataannya, tahun ini FIFA menyelenggarakan partai final perebutan juara 3 sehingga kita perlu menambah dengan 1 pertandingan.

Karena itu justru banyaknya pertandingan menjadi sama persis dengan banyaknya tim.

16 tim maka 16 pertandingan
8 tim maka 8 pertandingan
4 tim maka 4 pertandingan

Bagaimana dengan banyaknya pertandingan di babak penyisihan grup?

Matematika telah membekali kita dengan toeri kombinasi. Setiap grup terdiri dari 4 tim dengan sistem kompetisi (setengah). Masing-masing tim pernah bertanding bertemu satu sama lain tepat satu kali.

Banyaknya pertandingan dalam satu grup adalah,

4 Kombinasi 2 = $\frac {4!}{(4-2)!2!}$ = 6

Karena ada 8 grup maka total adalah 6 x 8 = 48 pertandingan.

Seandainya 32 tim langsung memakai sistem kompetisi (setengah) maka banyaknya pertandingan adalah,

32 Kombinasi 2 = $\frac {32!}{(32-2)!2!}$

= $\frac {31.32}{2}$ = 31.16 = 496 pertadingan.

Wow… banyak banget! 496 pertandingan!

Kasihan para pemainnya harus tampil 31 pertandingan. Kasihan juga para penontonnya bila harus menonton 496 pertandingan.

Untungnya FIFA memanfaatkan matematika untuk menghitung banyaknya pertandingan. Sehingga kita mendapat banyaknya pertandingan yang optimal.

Babak penyisihan total 48 pertandingan. Masing-masing tim bertanding 3 kali.
Sistem gugur 16 besar maka 16 pertandingan. Bagi tim yang lolos sampai final bertanding tambahan 4 kali.

Jadi total pertandingan 48 + 16 = 64 pertandingan.
Bagi tim yang lolos sampai babak final, total bertanding sampai 7 pertandingan.
Sedangkan bagi tim tersisih babak awal tetap bertanding minimal 3 pertandingan.

Bagaimana menurut Anda?

Tagged APIQ, banyaknya pertandingan, berhitung, matematika kreatif, pertandingan

Menghitung Banyaknya Pertandingan 16 Besar Piala Dunia 2010

Posted on Juni 27, 2010 | Tinggalkan komentar

Geo berpikir, “Ada berapa pertandingan total dari 16 besar piala dunia 2010 ini?”

Mari kita asumsikan pertandingan menggunakan sistem gugur dan hanya ada 1 final untuk menentukan juara 1 (final juara 3 tidak kita hitung).

Bila 2 tim maka 1 pertandingan.
Bila 4 tim maka 1 + 2 = 3 pertandingan.
Bila 8 tim maka 1 + 2 + 4 = 7.
Bila 16 tim maka 1 + 2 + 4 + 8 = 15.

Bila 32 tim maka pertandingan = 31.
Bila 64 tim maka pertandingan = …..
Bila 128 tim maka pertandingan = ….

Tentu saja banyak pertandingan dengan sistem gugur membentuk barisan geometri. Jumlah barisan atau deret geometri dapat kita hitung sebagai, S,

S = $\frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

Deret banyaknya pertandingan adalah,

1 + 2 + 4 + 8 + ….

S = $\frac{1(r^4 - 1)}{2 - 1}$

= 15 pertandingan.

Bahkan dengan mengenali pola kita juga mudah menebak banyaknya pertandingan sistem gugu adalah sama dengan banyaknya tim dikurangi 1. Tetapi jika final juara 3 juga dihitung maka banyaknya pertandingan = banyaknya tim.

Posted in APIQ

Tagged APIQ, matematika kreatif, piala dunia 2010

Perkalian dengan 0, Mengapa Hasilnya Selalu Sama dengan 0?

Posted on Juni 25, 2010 | 2 Komentar

“Mengapa?”
“Apanya yang mengapa?” Meti balik bertanya.
“Mengapa jika dikalikan dengan 0 maka hasilnya selalu 0?” Al memperjelas.
“Memang sudah begitu kok. Coba saja hitung sendiri!” sahut Geo.

Memang perkalian dengan 0 tampak mudah. Karena hasilnya selalu sama dengan 0. Tetapi jika kita mau berpikir lebih mendalam, mengapa? Kadang-kadang masalah sederhana seperti itu tidak selalu mudah.

Dengan mempertimbangkan banyak aspek, Paman APIQ justru jarang mengenalkan konsep perkalian dengan 0 kepada siswa di awal-awal. Bahkan perkalian dengan 1 pun disimpan oleh Paman APIQ pada kesempatan agak akhir.

Paman APIQ justru menyarankan agar kita mengenalkan konsep perkalian mulai dari perkalian 2, perkalian 3 dan seterusnya.

Mari kembali kepada pertanyaan semula, “Mengapa perkalian dengan 0 hasilnya selalu sama dengan 0?”

5 x 0 = 0

Karena 5 x 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

0 x 3 = 0

Karena 0 x 3 = 0 + 0 + 0 = 0

Jadi, berapa pun perkalian dengan 0 hasilnya akan selalu sama dengan 0. Karena kita hanya akan mengulang penjumlahan 0 sebanyak bilangan pengali tersebut.

“Wah, cara itu menggunakan dua definisi yang berbeda dong!” Al protes.

Bagaimana jika,

0 x 0 = ?

Tentu hasilnya sama dengan 0. Tetapi apa maksudnya?

0 x 3 = 0; kita dapat memahami penjumlahan bilangan 0 sebanyak 3 kali.

0 x 0 = 0; tidak mudah memahami penjumlahan 0 sebanyak 0 kali.

0 x (-3) = 0; tidak mudah memahami penjumlahan 0 sebanyak -3 kali; atau tidak mudah juga memahami penjumlahan -3 sebanyak 0 kali

Pertanyaan dapat semakin rumit, bila kita melibatkan perkalian dengan bilangan negatif atau irasional. Misal berapakah 0 kali negatif akar 2?

Meski Algeometi yakin bahwa perkalian dengan 0 selalu menghasilkan 0 mereka masih tetap penasaran. Algeometi sepakat membawa diskusi tersebut ke Paman APIQ.

Setelah Paman APIQ mendengarkan cerita Algeometi, Paman APIQ tersenyum senang dengan anak-anak itu. Kemudian Paman APIQ memberi sedikit petunjuk.

“Kalian sudah paham kan pengurangan?”
“Pasti!” jawab Algeometi mantap.
“Pengurangan berapakah yang menghasilkan 0?”
“1 – 1, 2 – 2, 3 – 3 dan seterusnya…” jawab Meti.
“Bilangan yang dikurangi oleh bilangan itu sendiri,” Geo menambahkan.

“Aku tahu…” seru Al.

a – a = 0
b – b = 0
x – x = 0
y – y = 0
dan seterusnya.

3 x 0 = 3 x (b – b) = 3b – 3b = 0
a x 0 = a x (b – b) = ab – ab = 0

0 x 3 = (b – b) x 3 = 3b – 3b = 0
0 x a = (b – b) x a = ba – ba = 0

0 x (-3) = (b – b) x (-3) = -3b + 3b = 0

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 2 Komentar

Tagged APIQ, kursus matematika, matematika kreatif, perkalian 0

Langkah Praktis Melejitkan Prestasi Siswa

Posted on Juni 25, 2010 | 2 Komentar

Setiap orang pasti ingin melejitkan prestasi siswa. Tetapi mengapa hanya sedikit siswa yang prestasinya melejit? Apakah memang hanya siswa tertentu saja yang prestasinya dapat melejit? Ataukah setiap siswa berpotensi untuk melejitkan prestasi?

Paman APIQ bercita-cita melejitkan prestasi setiap siswa melalui matematika kreatif. Paman APIQ telah berhasil melejitkan prestasi puluhan siswa, ratusan siswa, dan akan menembus ribuan siswa dengan bantuan keluarga besar APIQ serta dukungan orang tua siswa.

Dalam tulisan ini Paman APIQ berusaha menuliskan beberapa ide dan pengalaman agar bermanfaat bagi sesama. Sekaligus Paman APIQ mengharap masukan-masukan agar kita dapat lebih baik lagi dalam melejitkan prestasi siswa.

Apa saja langkah praktis untuk melejitkan prestasi siswa?

Berikut adalah langkah-langkah praktis yang diyakini oleh Paman APIQ.

1. Paradigma Mental Juara
2. Melejitkan Prestasi Sejati bukan Prestasi Semu
3. Pendekatan Multi Cerdas
4. Dari Dunia Masa Depan
5. Teknologi Digital Di Mana-mana
6. Bahasa, Gambar, dan Media
7. Keseimbangan Irama

Mari kita bahas lebih mendalam.

1. Paradigma Mental Juara

Setiap guru atau orang tua harus memiliki paradigma mental juara. Setiap guru harus meyakini bahwa setiap anak adalah juara. Keyakinan dalam hati kecil seorang guru menyatakan bahwa anak didiknya adalah juara. Bila ada anak didiknya yang tidak juara itu bukan karena siswa yang tidak juara. Tetapi karena guru atau kita belum menemukan cara membangunkan juara dalam diri siswa.

Paman APIQ pernah berjumpa dengan seorang anak yang sedang tidak memiliki pekerjaan. Paman APIQ menawari ke anak itu apakah ia mau belajar. Anak tersebut mengiyakan. Selanjutnya Paman APIQ membimbing anak itu.

Banyak orang meragukan bahwa Paman APIQ akan berhasil membimbing anak itu meraih sukses. Mengingat anak itu adalah anak biasa dari orang tua rakyat kecil. Tetapi Paman APIQ memiliki paradigma mental juara. Setiap orang adalah juara. Berhari-hari, berbulan-bulan Paman APIQ tidak berhasil membuktikan keyakinannya. Dengan pantang menyerah Paman APIQ, terus mencari sisi keunggulan dari anak itu.

Singkat cerita, anak itu akhirnya sukses berhasil menjadi juara. Anak itu mulai menemukan keunggulan dan keunikan dirinya. Bahkan ia telah menjadi trainer profesional yang diselenggarakan di hotel berbintang. Sampai saat itu pun banyak tetangga dan saudara anak tersebut yang tidak percaya bahwa ia menjadi trainer di hotel berbintang.

Dalam kesempatan yang lebih luas Paman APIQ menyebarkan paradigma mental juara melalui berbagai cara kreatif belajar matematika. Misalnya banyak anak yang sudah berkecil hati ketika berhadapan dengan teorema Pythagoras. Dengan cara kreatif Paman APIQ, anak-anak menjadi lebih mudah menangani teorema Pythagoras. Anak-anak menjadi yakin bahwa dirinya adalah juara.

2. Melejitkan Prestasi Sejati bukan Prestasi Semu

Banyak orang salah berpikir bahwa juara adalah berhasil memenangkan kompetisi. Mereka berpikir bila seorang anak berhasil ranking I maka anak itu adalah berprestasi.

Padahal ranking I adalah prestasi semu. Belum tentu prestasi sejati.

Apakah prestasi sejati itu?

Prestasi sejati adalah prestasi yang dapat diraih oleh setiap orang dan memberi kontribusi positif. Meraih nilai 100 dalam bidang matematika dan bahasa adalah prestasi sejati.

Karena setiap anak berpotensi untuk meraih nilai 100. Menjadi ranking I bukan prestasi sejati. Karena hanya 1 orang yang berpotensi menjadi ranking I dari puluhan atau ratusan siswa. Bahkan bila ada seorang anak hanya berhasil meraih nilai 60 mungkin saja ia menjadi ranking I karena siswa yang lain hanya memperoleh nilai 50. Jadi, ranking adalah prestasi semu.

Prestasi sejati tidak harus mengalahkan orang lain. Prestasi sejati hanya perlu menjadi hari ini lebih baik dari hari kemarin dan memberi kontribusi positif kepada semesta.

Prestasi sejati dapat kita raih dalam bidang matematika, teknologi, seni, olah raga, agama, sastra, sosial, dan lain sebagainya.

Apakah prestasi semu tidak penting? Penting. Prestasi semu tetap penting. Tetapi yang lebih penting adalah prestasi sejati. Prestasi semu adalah sekedar bumbu. Misal Paman APIQ membantu setiap anak berprestasi sejati memahami sepenuhnya persamaan aljabar. Di saat yang sama, Paman APIQ menciptakan game aljabar yang seru.

Kadang-kadang seorang anak menang dalam game aljabar. Di saat yang lain ia kalah bermain game aljabar. Menjadi juara game aljabar adalah prestasi semu. Tetapi penting untuk membuat aljabar menjadi seru. Anak-anak menjadi lebih senang belajar aljabar dengan game aljabar. Mereka akhirnya berhasil meraih prestasi sejati.

3. Pendekatan Multi Cerdas

Setiap anak terlahir cerdas bakan jenius. Sehingga Paman APIQ menyebut setiap anak memiliki otak multi cerdas. Hanya saja masing-masing anak menampilkan bentuk kecerdasan dengan cara yang beragam. Kecerdasan majemuk lebih baik dalam memandang kecerdasan dari hanya menggunakan kecerdasan tunggal yang terkenal dengan nama IQ.

Seperti kita telah paham peran EQ – kecerdasan emosi – sangat penting melebihi IQ. Berikutnya kecerdasan spiritual juga mendapat posisi yang sangat penting. Secara lebih luas, kecerdasan majemuk mengakui multi kecerdasan: logika matematika, bahasa, intrapersonal, interpersonal, visual, musik, kinestetik, natural, dan eksistensial.

Untuk melejitkan prestasi siswa kita perlu menjadikan kecerdasan majemuk sebagai landasan. Paman APIQ menciptaka suatu permainan yang melatih kecerdasan emosi anak sekaligus kecerdasan matematika. Permainan tersebut diberi nama super marble. Mainan seru yang terdiri dari berwarna-warni kelereng.

4. Dari Dunia Masa Depan

Orang tua yang sukses cenderung menjerumuskan anaknya. Mengapa? Orang tua yang sukses kadang terlalu yakin dengan sukses dirinya. Kemudian memaksa anaknya untuk mengikuti formula sukses orang tua itu. Tetapi formula itu sudah usang. Anak-anak kita memerlukan formula baru untuk melejitkan prestasi. Bukan mengulang cara-cara lama yang sudah usang.

Anak-anak kita adalah duta masa depan. Mereka bukan replika atau duplikat orang tua dari masa lalu. Pengalaman kita di masa lalu hanyalah bahan pelajaran bagi anak-anak kita di masa kini.

Untuk melejitkan prestasi siswa, kita harus berusaha melihat visi masa depan, kemudian menariknya ke masa kini. Teknologi digital, teknologi nano, bioteknologi, pemaknaan agama, kehidupan sosial baru, dan masih banyak tantangan-tantangan masa depan yang perlu menjadi perhatian. Tugas kita adalah membekali anak-anak dengan modal sebaik-baiknya agar mereka berhasil melejitkan diri di masanya sendiri.

Paman APIQ, misalnya, mengamati anak-anak semakin menyukai dunia animasi dan komik. Karena itu Paman APIQ dan keluarga besar APIQ mendesain tokoh-tokoh animasi dan komik untuk pembelajaran matematika. Terbukti anak-anak menyukai membaca komik dan pada saat yang sama belajar matematika.

5. Teknologi Digital Di Mana-mana

Anak mana yang tidak kenal internet? Mengapa anak-anak lebih cepat belajar komputer, internet, hp dari pada orang tua mereka?

Tampaknya teknologi digital adalah dunia anak-anak kita. Sehingga teman saya menyebut, bahwa anak-anak kita adalah generasi digital, native digital. Sedangkan kita adalah imigran digital. Anak kita sejak lahir sudah mengenal komputer. Masih usia kanak-kanak mereka sudah biasa bicara melalu hp. Sedangkan kita baru pada usia 20an mengenal komputer. Pada usia 30an atau 40an baru mengenal hp. Tentu anak-anak berbeda dengan kita.

Mengapa kita tidak memanfaatkan teknologi digital tersebut untuk melejitkan prestasi siswa?

Paman APIQ berkreasi melalui internet, menciptakan berbagai macam materi ajar melalui internet. Banyak anak dari seluruh penjuru Indonesia menceritakan bahwa mereka berhasil melejitkan prestasi dengan belajar melalui internet Paman APIQ. Bukan hanya siswa yang terbantu melalui program internet APIQ tetapi juga mahasiswa, guru, dan dosen dari berbagai belahan bumi Indonesia.

6. Bahasa, Gambar, dan Media

Gambar bermakna seribu gambar. Tetapi media bermakna sejuta gambar.

Jadi, untuk melejitkan prestasi kita tinggal menciptakan beragam media yang menarik bagi anak-anak kita. Misal Paman APIQ menciptakan game Kombi Milenium yang menjadi media belajar aritmetika berhitung cepat. Dengan kombi milenium anak-anak riang gembira bermain. Pada saat yang sama mereka berlatih berhitung cepat penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Paman APIQ tidak harus bersikeras menjelaskan konsep aritmetika. Tetapi anak-anak sendiri yang ingin menguasai konsep itu.

Kemudian Paman APIQ menciptakan game kombi aljabar. Permainan ini juga membuat anak-anak penasaran untuk terus main dan memenangkan game. Lagi-lagi, pada saat
yang sama anak-anak belajar memahami konsep aljabar. Dengan media yang tepat, anak-anak berusaha melejitkan prestasinya sendiri.

7. Keseimbangan Irama

Bagaimana pun kita membutuhkan keseimbangan. Tidak cukup hanya berprestasi di bidang pelajaran (atau karir) saja. Kita tetap perlu seimbang, memiliki sisi spiritual yang bermakna, hubungan sosial yang harmonis, kesehatan fisik yang bugar, rasa seni yang apresiatif, dan intelektual yang terus diasah.

Sudahkah Anda berolah raga hari ini?

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 2 Komentar

Tagged APIQ, matematika kreatif, melejitkan prestasi, melejitkan siswa

Memahami Sistem Persamaan Aljabar yang Terlalu Longgar atau Terlalu Ketat

Posted on Juni 23, 2010 | 1 Komentar

“Pemahaman itu lebih penting dari keterampilan,” kata Paman APIQ.

Begitu pula memahami sistem persamaan aljabar itu juga lebih penting dari sekedar menyelesaikan soal persamaan aljabar. Tetapi bagaimana mengajarkan pemahaman sistem aljabar kepada anak-anak?

Cara mengajarkan pemahaman kepada anak-anak adalah dengan membantu anak-anak terampil menyelesaikan berbagai macam persamaan aljabar. Setelah anak-anak terampil, Paman APIQ memancing mereka dengan beberapa persoalan yang membangun pemahaman.

Paman APIQ meringkas prinsip sistem persamaan aljabar yang penting bagi setiap anak adalah,

“Sistem persamaan aljabar memiliki solusi unik jika mempunyai n variabel belum diketahui dan n persamaan.”

Jika sistem persamaan memiliki 2 variabel belum diketahui dan 1 persamaan maka tidak memiliki solusi unik. Sistem tersebut justru terlalu longgar yaitu memiliki banyak solusi yang mungkin.

Sebagai contoh, Al memiliki uang sebanyak dua kali lipat dari uang Geo. Tentukan banyaknya uang Al dan uang Geo!

Soal di atas adalah contoh sistem persamaan aljabar yang terlalu longgar. Maksudnya banyak jawaban yang mungkin. Misal uang Geo 100 maka uang Al 200. Jika uang Geo 1000 maka uang Al 2000. Jika diketahui 1 lagi persamaan baru yang independet maka soal di atas akan memiliki solusi unik.

Untuk contoh terlalu ketat, Al memiliki uang 2 kali lipat uang Geo. Uang Al dikurangi uang Geo adalah 10.000. Uang Al ditambah uang Geo adalah 20.000. Berapakah uang Al?

Untuk contoh yang ini kita memiliki 2 variabel belum diketahui dan 3 persamaan. Sistem ini adalah terlalu ketat. Untuk sistem yang terlalu ketat mungkin saja terjadi situasi yang tidak konsisten.

Sedangkan Paman APIQ untuk tahap-tahap awal lebih banyak mengenalkan konsep sistem persamaan aljabar yang memiliki solusi unik. Setelah anak paham kemudian Paman APIQ akan mengenalkan sistem persamaan aljabar yang terlalu longgar dengan memiliki banyak solusi. Dan terakhir Paman APIQ mengenalkan sistem persamaan aljabar yang terlalu ketat baik konsistem atau tidak.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Tagged aljabar, APIQ, kursus matematika, matematika, matematika kreatif, memahami aljabar, sistem aljabar

Jembatan Penghubung Kerajaan Aritmetika dan Kerajaan Aljabar adalah Bilangan Pecahan

Posted on Juni 22, 2010 | 1 Komentar

Lagi-lagi Paman APIQ memperoleh banyak keuntungan dengan bermain bersama anak-anak seperti Al, Geo, Meti. Paman APIQ memang sengaja hendak membangun jembatan penghubung antara kerajaan aritmetika dan kerajaan aljabar. Membangun jembatan bukanlah tugas yang mudah. Tidak cukup hanya berasumsi saja. Paman APIQ harus praktik langsung di lapangan.

Paman APIQ telah menyiapkan beragam hipotesa untuk membangun jembatan Almeti (singkatan dari aljabar dan aritmetika) ini. Tetapi di luar dugaan, bahwa bahan utama untuk membangun jembatan Almeti adalah bilangan pecahan bukan bahan-bahan lain.

Memang anak-anak seperti Algeometi sudah terbiasa dengan matematika atau berhitung. Algeometi sudah akrab dengan berbagai macam bentuk aritmetika. Bahkan mereka telah terbiasa berpikir kreatif ketika berpetualang di bidang matematika.

Paman APIQ mencoba memunculkan tantangan-tantangan aljabar seperti ini,

x + y = 7
2x + y = 10

Tentukan x dan y.

Bagi Algeometi, yang masih usia anak-anak SD, ternyata tantangan di atas adalah tantangan mudah. Mereka menyelesaikannya dengan cara coba-coba berhitung aritmetika.

Tentu saja Paman APIQ bangga dengan anak-anak SD yang sudah mampu menyelesaikan persamaan aljabar dengan 2 variabel. Tetapi setelah semakin banyak berlatih Paman APIQ baru menyadari satu hal, ” Anak-anak menyelesaikan sistem persamaan aljabar dengan pendekatan aritmetika. Itu adalah baik. Bagaimana caranya agar anak-anak dapat menyelesaikan persamaan aljabar dengan pendekatan aljabar?”

Setiap Paman APIQ memberi tantangan berupa persamaan aljabar maka Algeometi menyelesaikannya dengan riang gembira secara aritmetika.

Akhirnya, Paman APIQ menemukan,

x + y = 8
x – y = 1

Tentukan x dan y.

Karena solusi dengan cara aritmetika banyak memerlukan waktu maka Algeometi meminta diajarin cara yang lain. Tibalah saat yang tepat bagi Paman APIQ mengenalkan metode aljabar: eliminasi dan substitusi. Paman APIQ banyak berterima kasih kepada bilangan pecahan yang telah bersedia menjadi jembatan Almeti.

Tantangan berikut bahkan lebih menarik lagi.

x + y = 4
x – y = 1

Berapakah

$x^2 - y^2 =$ ?

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Tagged aljabar, APIQ, aritmetika, kursus matematika, matematika kreatif

Dari Kerajaan Aritmetika Menuju Kerajaan Aljabar

Posted on Juni 21, 2010 | 1 Komentar

Matematika memiliki 3 kerajaan yang berbeda: aritmetika, geometri, dan aljabar. Mencampuradukkan tiga kerajaan itu dapat berakibat rumit bagi pendidikan dan pembelajaran matematika.

Paman APIQ sendiri, dari awal, menekankan pentingnya penguasaan aritmetika bagi anak-anak sejak usia dini. Sayangnya sering terjadi ketika anak-anak berpetualang di kerajaan aritmetika mereka menemukan masalah-masalah dari kerajaan aljabar.

Demikian juga ketika anak-anak asyik bermain geometri mereka juga sering dihadapkan kepada persoalan aljabar. Masalahnya, para guru dan penyusun materi sendiri kadang-kadang tidak mudah membedakan mana masalah aljabar dan mana masalah aritmetika.

Karena itu Paman APIQ mengusulkan agar kita membuat jembatan yang menghubungkan kerajaan aritmetika dengan kerajaan aljabar. Begitu juga kita perlu membangun jembatan yang menyatukan geometri dan aljabar. Sedangkan jembatan antara kerajaan aritmetika dan kerajaan geometri telah lama terbangun dengan baik.

2 + 3 = ….
2a + 3a = ….

4 + 5 = ….
4b + 5b = ….

4.4 = ….
a.a = ….

5.5 = ….
b.b = ….

(3.2)(5.2) = …
3a.5a = …

Dan masih banyak bata dan semen yang kita perlukan untuk membangun jembatan yang indah antara kerajaan aljabar, geometri, dan aritmetika.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Tagged aljabar, APIQ, aritmetika, geometri, matematika kreatif

Mengembangkan Matematika Kreatif Tahap Demi Tahap

Posted on Juni 20, 2010 | Tinggalkan komentar

Sudah menjadi rahasia umum bahwa matematika adalah pelajaran paling menakutkan bagi sebagian besar siswa. Bukan bagi siswa saja, bagi sebagian besar guru pun matematika adalah pelajaran paling sulit untuk diajarkan.

Sementara itu di sisi lain, peran penting matematika semakin besar. Kemajuan ilmu dan teknologi semakin menuntut kita untuk menguasai matematika – setidaknya prinsip-prinsip dasarnya. Dengan berkembangnya dunia digital maka bidang ekonomi, bisnis, mau pun kehidupan sosial lain perlu memanfaatkan matematika untuk menganilisis berbagai macam situasi.

Pertanyaan bagi kita, “Bagaimana mengajarkan matematika kepada anak-anak kita dengan baik dan benar?”

Pertanyaan sederhana tetapi tidak mudah untuk menjawabnya.

Misalnya mengenai berapa banyak muatan kurikulum matematika yang harus diajarkan kepada siswa SD juga tidak mudah dijawab. Banyak orang telah mengamati bahwa beban kurikulum matematika SD Indonesia lebih berat dan lebih banyak dibanding dengan negara-negara lain. Siswa-siswa SD kita mempelajari matematika secara luas namun sebagai konsekuensinya kurang mendalam. Sementara itu di beberapa negara maju siswa SD hanya mempelajari sedikit tema tentang matematika tetapi pembahasannya secara mendalam.

Sudah menjadi pemandangan umum bahwa guru-guru kita kekurangan waktu untuk mengajar sesuai beban kurikulum. Sehingga banyak guru hanya menugaskan anak-anak untuk belajar sendiri di rumah beberapa bab yang tidak sempat dibahas di kelas.

Dari berbagai pertimbangan itulah, Paman APIQ berupaya untuk berinovasi mengembangkan matematika kreatif secara bertahap. Paman APIQ mencoba untuk meringkas matematika menjadi tiga bidang utama: aljabar, geometri, dan aritmetika. Bidang kajian matematika yang lain sebaiknya dimasukkan sebagai pengayaan aljabar, geometri, dan aritmetika. Lebih khusus lagi, Paman APIQ menekankan pentingnya penguasaan aritmetika.

Misal untuk siswa SD, Paman APIQ mengusulkan agar hanya ada 3 bab utama selama 6 tahun belajar. Bab pertama tentu aritmetika. Semua bab yang berhubungan dengan aritmetika dapat dipandang sebagai penerapan aritmetika. Misal bab tentang skala adalah penerapan aritmetika perbandingan, bab satuan panjang adalah penerapan aritmetika untuk pengukuran. Karena bab pertama tersebut adalah aritmetika maka yang paling penting adalah penguasaan prinsip-prinsip aritmetika. Sisanya adalah pengayaan aritmetika.

Bab kedua adalah geometri. Tentu prinsip-prinsip geometri akan sangat menarik bagi sebagian besar siswa. Bab geometri banyak menyediakan petualangan-petualangan visual yang menarik bagi siswa. Pemanfaatan alat peraga sebagai media petualangan tentu sangat dibutuhkan untuk pembelajaran geometri.

Bab ketiga adalah aljabar. Kurikulum SD Indonesia saat ini tampaknya ragu-ragu menyatakan secara eksplisit materi aljabar. Kenyataannya banyak pelajaran siswa SD yang menuntut keterampilan aljabar.

Contoh soal UN SD berikut dapat memberi sedikit gambaran.

Perbandingan uang Amin dan Ahmad adalah 2:3. Jika jumlah uang mereka Rp 2.000.000,- maka selisih uang mereka adalah….

Tentu contoh soal di atas dapat dianggap sebagai aritmetika (sosial). Tetapi akan lebih mantap bila kita memandang soal di atas sebagai aljabar. Kemudian kita membekali anak-anak kita dengan keterampilan dasar aljabar yang diperlukan.

Secara aljabar, soal di atas dapat kita lihat sebagai persoalan dengan 2 persamaan dan 2 variabel belum diketahui. Dengan penuh kesadaran persoalan di atas dapat diselesaikan dengan baik.

x/y = 2/3 maka x = 2/3 y

x + y = 2.000.000

Dengan substitusi,

2/3 y + y = 2.000.000
5/3 y = 2.000.000

y = 1.200.000 maka x = 800.000

Selisih = y – x = 1.200.000 – 800.000 = 400.000 (Selesai).

Cara di atas adalah cara formal tahap-tahap menyelesaikan sistem persamaan aljabar. Dengan metode pembelajaran yang kreatif anak-anak dapat menguasai keterampilan di atas dengan baik. Dan keterampilan ini sangat penting sampai tingkat lanjut.

Tentu saja kita dapat menyelesaikan soal di atas dengan berbagai macam trik.

2/3 b + 3/3 b = 2.000.000
5/3 b = 2.000.000

1/3 b = 400.000 (Selesai)

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)