Menjadi lebih mudah, lebih sederhana, lebih baik itulah cita-cita dari berbagai macam penelitian ilmu pengetahuan. Matematika, khususnya aljabar abstrak (teori grup, ring), juga memiliki konsep menjadikan lebih mudah: Homomorphism (homomorfis).
Paman APIQ sudah sering memanfaatkan konsep homomorfis untuk menghitung cepat akar kuadrat dan akar kubik. Ketika banyak orang kesulitan menghitung akar, bagi siswa APIQ menghitung akar (kuadrat mau pun kubik) adalah tugas yang sangat menyenangkan. Siswa-siswa APIQ tersebut telah menerapkan konsep homorfis dengan riang gembira.
Homomorfis merupakan tema tingkat tinggi dalam diskusi teori grup, aljabar abstrak.
Mari kita diskusikan…
Definisi
Jika G dan H adalah grup, homomorfis dari G ke H adalah fungsi f: G ke H sedemikian hingga untuk setiap a dan b anggota G,
f(ab) = f(a)f(b)
Jika terdapat suatu homomorfis dari G ke H, kita menyebut H adalah image homomorfis, citra homomorfis, homomorphic image, dari G.
Mari kita ambil contoh homomorfis.
G = {semua bilangan bulat}
H = {genap, ganjil}
Dengan operasi penjumlahan biasa.
Berapa banyak anggota G?
Banyak sekali. Semua bilangan bulat positif dan negatif. Tak terhingga atau tak terbatas (infinite) banyaknya anggota G.
Berapa banyak anggota H?
Hanya 2 yaitu genap dan ganjil.
Tetapi H adalah image dari G. Sehingga sifat-sifat G tercermin pada H.
Misal, dalam G,
3 + 5 = 8
Bayangan image homomorfis pada H adalah,
ganjil + ganjil = genap
Contoh lagi, dalam G,
4 + 7 = 11
Bayangan image homomorfis dalam H,
genap + ganjil = ganjil
Apa arti semua ini?
Untuk menganalisa grup G yang jumlah anggotanya sangat banyak, tak terhingga, kita cukup hanya menganalisa image homomorfisnya yang beranggotakan hanya 2: genap dan ganjil.
Contoh lagi mari kita ambil permainan Rubik.
Misal dalam permainan kubus Rubik, perhatikan hanya satu bidang saja.
G = {I, K, L, M}
H = {i, k}
f(I) = f(L) = i
f(K) = f(M) = k
I = putar 0 derajat
K = putar 90 derajat
L = putar 180 derajat
M = putar 270 derajat
i = putar 0 derajat
k = putar 180 derajat
Kita dapat membuktikan bahwa H adalah image homomorfis dari G. Contoh
f(KL) = f(M) = k = ki = f(K)f(L)
Mari kembali ke aplikasi yang di awal dibahas Paman APIQ. Menghitung akar dengan mudah dan cepat memanfaatkan konsep homomorfis.
G = { kubik dari bilangan bulat dua digit -99 sampai dengan 99}
H = { bilangan bulat dari -9 sampai dengan 9}
Berapa banyak anggota G?
Cukup banyak… 199 anggota (200 – 1), dan pangkat 3 lho…
Berapa banyak anggota H?
Cukup sedikit… 19 anggota (20 – 1).
Dengan fungsi f: memetakan ke satuannya
Maka kita dapat membuktikan bahwa H adalah image homorfis dari dari G.
Dengan cara yang sama kita juga dapat membuat homomorfis untuk bilangan puluhannya.
Misal kita akan menghitung
akar kubik 29.791 = ….?
Mari kita cari bayangan homomorfisnya.
791 memiliki bayangan 1 karena satuannya adalah 1.
29 memiliki bayangan 3 karena 29 di antara 27 dan 64.
Jadi bayangan 29.791 = 31 (Selesai).
Contoh lagi…Kita akan menghitung,
akar kubik 262.144 = …?
144 memiliki bayangan 4 karena satuan = 4
262 memiliki bayangan 6 karena 262 di antara 216 dan 343
Jadi bayangan 262.144 = 64 (Selesai).
Petulangan akan kita lanjutkan pada tulisan berikutnya yang membahas hubungan homomorfis dengan konjugasi, komutator, dan quotient.
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)
