Arsip Bulanan: Mei 2010

Cara Mudah Menghitung Luas Bidang Datar Segala Bentuk

Menghitung luas bidang datar adalah keterampilan geometri yang mendasar. Pada tingkat yang lebih tinggi, menghitung luas dapat diterapkan dalam berbagai bidang, tidak terbatas hanya kepada geometri saja.

Kalkulus telah membantu kita menghitung luas untuk berbagai macam bidang datar. Teknik integral sangat berguna untuk menghitung luas.

Paman APIQ menyusun teorema untuk memudah menghitung luas bangun datar dengan bentuk apa pun.

Teorema luas:

Luas bidang datar yang dibatasi oleh grafik fungsi polinom dan sumbu x dapat dihitung dengan rumus,

L = s.a.t

di mana

L : Luas bidang datar
a : alas
t : tinggi
s : suatu konstanta

Bukti?

Kasus 1
Mari kita mulai dengan kasus sederhana,

f(x) = t = konstan

Maka luas adalah

L = I (t) ; [integral t terhadap dx]
= tx

Dengan memilih batas integral 0 < x < a maka

L = t (a – 0)
= at

Ini adalah rumus yang sudah akrab dengan kita. L = at = p x l, rumus luas segi empat.

Kasus 2
Mari kita pilih yang sederhana lagi,

f(x) = kx

Maka luas adalah,

L = I(kx)
= 1/2 kx^2

Dengan memilih batas pengitegralan 0 sampai a maka

L = 1/2 ka^2
= 1/2 a. ka
= 1/2 a.t

Rumus L = 1/2 at juga sudah akrab bagi kita. Ini adalah rumus luas segitiga.

Kasus 3,
Mari kita pilih fungsi yang lebih umum,

f(x) = kx^n

Maka luas adalah,

L = I (kx^n)

= \frac{1}{n+1} kx^{n+1}

Dengan memilih batas integral 0 sampai a maka

L = \frac{1}{n+1} ka^{n+1}

= \frac{1}{n+1} a.ka^n
= s.a.t
Terbukti.

Meski bentuk rumus yang terakhir agak jarang kita temui tetapi para siswa yang belajar integral sudah sangat akrab dengan bentuk tersebut. Dengan konsep ini, apa lagi bila kita perkaya dengan ilustrasi gambar, maka menghitung luas hanya memerlukan satu rumus yang mudah.

L = s.a.t

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Belajar (Terlalu) Mudah Matematika: Menghitung Akar Persamaan Kuadrat

Belajar mudah matematika tidak selalu mudah. Paman APIQ telah menekankan pentingnya memahami masalah pada tulisan terdahulu.

Jika p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat maka tentukan

p^2 + q^2 = ... ... ...

1. x^2 - 8x + 15

2. x^2 - 13x + 22

3. x^2 - 7x + 7

Soal nomor 1 dapat kita faktorkan dengan mudah. Kita peroleh,

p = 5, q = 3
Maka p^2 + q^2 = 5^2 + 3^2 = 34 (selesai).

Soal nomor 2 juga dapat kita faktorkan.

p = 11, q = 2
Maka p^2 + q^2 = 11^2 + 2^2 = 125 (selesai)

Namun untuk soal nomor 3 kita tidak dapat memfaktorkan. Dengan rumus abc (diskriminan) kita memang berhasil menghitung akar-akar (dengan usaha keras). Selanjutnya mengkuadratkan akar-akar irasional di atas juga bukan tugas ringan.

Bagaimana lebih mudahnya?

Gunakan Bintang Aljabar.

(p + q)
(p + q)
————x
p^2 + 2pq + q^2

Sehingga,

p^2 + q^2 = (p + q)^2 - 2pq

= 7^2 -2.7 = 35 (selesai).

Jika ada cara mudah tidak harus memaksakan cara susah. Tentu saja melatih keterampilan matematika tetap penting.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Diskusi Aljabar Terbaik Matematika Kreatif APIQ

Weblog APIQ memberi kesempatan kita untuk berdiskusi terbuka. Menurut saya salah satu diskusi terbaik adalah artikerl APIQ yang berjudul:

Logika (Nalar) Matematika Sistem Persamaan Aljabar

Saya hendak merangkum diskusi yang asyik tersebut. Terima kasih kepada teman-teman yang telah berpartisipasi dalam diskusi dengan sangat baik.

Persoalan utama adalah,

“Mas saya mau tanya nih…
Jika a/b = b/c = c/a maka tentukan nilai dari (a+b+c)/(a+b-c). Terima kasih Mas.”

Cara 1;

Cara paling mudah adalah dengan coba-coba.

Coba a = 1, b = 2 maka
1/2 = 2/4 = 4/1 (Tidak konsisten atau salah)

Coba a = 1, b = 1 maka
1/1 = 1/1 = 1/1.

Jadi a = 1, b = 1, c = 1.
Kita peroleh (a + b + c)/(a + b – c) = (1 + 1 + 1)/(1 + 1 – 1) = 3 (Selesai)

Cara 2;
Pemahaman konsep dasar sistem persamaan aljabar. Terdapat 3 variabel dengan 2 persamaan maka solusi trivial, masih banyak jawaban yang mungkin.

Kasus 1: a < b

a < b maka b < c maka c kurang dari a (Tidak konsisten; salah)

Kasus 2: a lebih dari b

a lebih dari b maka b lebih dari c maka c lebih dari a (Tidak konsisten; salah)

Kasus 3: a = b

a = b maka b = c maka c = a (Benar)

Jadi, a = b = c

Sehingga,

(a + b + c)/(a + b – c) = 3a/a = 3 (Selesai)

Cara 3;
Gunakan variabel antara atau persamaan parametris.

a/b = b/c = c/a = t

(a + b + c) = (tb + tc + ta)

(a + b + c) = t(b + c + a)
t = 1

Maka a = b = c

Sehingga
(a + b + c)/(a + b – c) = 3a/a = 3 (Selesai).

Kita juga dapat mengalikan

abc = tb.tc.ta;
t = 1.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat….
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Latihan Asyik Aljabar Akar Persamaan Kuadrat: Kombi Aljabar

Setelah memainkan kombi aljabar, Algeometi semakin semangat dan asyik belajar persamaan kuadrat. Makin banyak latihan akan membuat makin mahir. Paman APIQ telah menyiapkan latihan menghitung akar persamaan kuadrat.

Latihan berikut menjadi lebih asyik lagi bila menggunakan kombi aljabar dan bintang aljabar. Bersiaplah…!

x^2 - 14x + 24

x^2 - 15x + 36

x^2 - 12x + 11

x^2 - 15x + 44

x^2 - 15x + 50

x^2 - 16x + 60

x^2 - 18x + 72

x^2 - 16x + 63

x^2 - 9x + 8

x^2 - 10x + 21

x^2 - 8x + 12

x^2 - 9x + 20

Selamat berlatih….

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Cara Mudah dan Cepat Menghitung Akar Persamaan Kuadrat: Bintang Aljabar

Bintang Aljabar makin asyik kita gunakan untuk menghitung akar persamaan kuadrat.

(x + 3)
(x – 3)
————x
x^2 - 9

Dengan fokus pada pembuat 0 maka kita akan menemukan akar-akarnya.

x^2 - 9 = 0

(x + 3)(x - 3) = 0

Akarnya adalah x = -3 atau x = 3.

Contoh, tentukan akar-akar dari,

x^2 + 8x + 15 = 0

Dengan Bintang Aljabar, I X I, kita tahu

(x + 3)
(x + 5)
————-x
x^2 + 8x + 15

Maka akar-akarnya adalah x = -3 atau x = -5. (selesai)

Paman APIQ telah menyiapkan permainan kombi aljabar yang menjadikan persamaan kuadrat sebagai petualangan asyik. Kombi ini mengijinkan operasi kabataku dari akar-akar persamaan kuadrat.

Pemain akan mengambil kartu yang bertuliskan persamaan kuadrat. Akar-akarnya misal p atau q kita jadikan sebagai peluru. Maka proses kombi yang diijinkan adalah:

pq
p + q
p – q
q – p
p/q
q/p

Sasaran dapat kita tetapkan 36. Masing-masing pemain dapat memiliki pion sendiri. Dapat hanya tersedia 1 pion.

Alternatif lain juga boleh. Masing-masing pemain mendapat 3 pion dan berlomba adu cepat menempelkan pada papan kombi. Seru….!

Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat…

(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Keterampilan Terpenting dalam Belajar Matematika

Apa keterampilan terpenting yang harus dikembangkan ketika (setelah) anak belajar matematika?

Tentu banyak jawaban yang mungkin. Paman APIQ memiliki beberapa ide berikut ini. Anda silakan menambahkan lagi.

1. Berpikir logis
Sangat jelas matematika menantang logika. Memori saja tidak akan cukup menjawab tantangan matematika.

2. Berpikir sistematis
Pada tingkat yang agak tinggi matematika mengajak kita berpikir sistematis. Mengungkapkan ide dengan struktur yang jelas.

3. Problem solving; pemecahan masalah
Khususnya aljabar memang ilmu untuk memecahkan masalah. Masalah tersebut biasanya kita susun dalam bentuk sistem persamaan. Pahami masalah, buat model matematika, selesaikan, lalu implementasikan.

Sedangkan yang di bawah ini adalah keterampilan tertinggi dalam matematika.

4a. Mengenali pola
Permasalah matematika tingkat tinggi sering tidak dapat diselesaikan dengan ilmu matematika yang ada. Pengenalan pola menjadi penting. Lebih-lebih dalam teori chaos dan fraktal peran pengenalan pola sangat penting.

4b. Pembuktian teorema
Di Indonesia keterampilan pembuktian teorema tampaknya sedikit sekali dibahas apalagi untuk tingkat dasar atau menengah. Bahkan mahasiswa tingkat akhir pun masih minim dalam keterampilan membuktikan teorema.

Mengapa teorema Pythagoras adalah benar?
Mengapa jumlah besar sudut-sudut dari suatu segitiga selalu 180 derajat?
Mengapa kuadrat dari suatu bilangan real selalu positif?

Teorema:
Luas bidang datar yang dibatasi oleh kurva polinom dan sumbu x selalu dapat dinyatakan sebagai,

L = k.a.t

L: luas
a: alas
t: tinggi
k: konstanta

Buktikan….!

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Permainan Aljabar Kreatif Makin Asyik

Paman APIQ semakin gembira karena telah menemukan semakin banyak permainan aljabar. Belajar aljabar matematika kini makin asyik.

Dari beragam permainan aljabar itu, Paman APIQ sedang menyiapkan permainan Pangeran Aljabar. Sebelumnya kita sudah sering memainkan Pangeran Aritmetika. Tentu saja Pangeran Geometri juga segera menyusul.

Permainan aljabar yang sedang ditekuni Paman APIQ adalah persamaan garis lurus, persamaan kuadrat, fungsi, dan lain-lain.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Bintang Aljabar: Perkembangan Asyik dari Bintang Aritmetika

Anak-anak semacam Algeometi telah menguasai bintang aritmetika dengan mahir dan menyenangkan. Selanjutnya Paman memperluas pemanfaatan jurus bintang ini untuk menguasai konsep aljabar. Jadilah bintang aljabar.

Algeometi sudah akrab degan bentuk,

(20 + 1)
(20 + 1)x
————–
20.20 + (2.20.1) + 1.1 = 441

Perhitungan di atas kita memanfaatkan bintang aritmetika,

I X I

Dengan sedikit melangkah mengganti bilangan dengan simbol maka kita akan memiliki bintang aljabar,

(a + 1)
(a + 2)x
————
a.a + 3a + 2

Tentu saja Algeometi ingin berlatih dengan tantangan yang beragam.

(a + 3)
(a + 2)x
————
……………………

(a + 5)
(a + 3)x
————-
……………………

(a – 2)
(a + 5)x
————–
………………..

Tantangan lebih menarik lagi bila prosesnya kita balik. Yaitu diketahui bentuk persamaan kuadrat kemudian anak-anak kita minta menguraikan menjadi faktor-faktornya (pemfaktoran).

a.a + 8a + 15 = ………………… =?

Dengan imajinasi bintang aljabar, Algeometi akan menebak,

15 adalah hasil kali dari 3 dan 5. Sehingga,

a.a + 8a + 15 = (a + 3)(a + 5)

Setelah Algeometi mahir dengan pemfaktoran, Paman APIQ memperkenalkan “pembuat 0″ atau akar dari persamaan kuadrat.

Mari terus berpetualang…

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat….
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Konjugasi dan Komutator dalam Rubik dan Aljabar Abstrak

Konjugasi dan komutator banyak kita gunakan dalam bermain Rubik. Dalam konsep aljabar abstrak, konjugasi dan komutator juga memegang peran yang sangat penting.

Sebuah subgroup yang tertutup terhadap seluruh konjugasi menjadi subgroup yang istimewa. Subgroup ini disebut sebagai normal subgroup. Pada gilirannya, teori Galois akan memanfaatkan normal subgroup.

Sedangkan komutator, sesuai namanya, dapat kita gunakan sebagai uji sifat komutatif. Dengan konsep quotient group, komutator akan kita gunakan untuk membangun subgroup yang komutatif (abelian subgroup). Lagi-lagi kita akan memanfaatkan komutator untuk memahami teori Galois.

Konjugasi adalah komposisi fungsi yang berbentuk

xax^{-1}

Dalam rubik, banyak jurus konjugasi yang kita gunakan.

Contoh KAH adalah konjugasi.
M(AKEH)N juga konjugasi.

Untuk mengubah sisi buruk menjadi sisi baik, kita sering memanfaatkan konjugasi seperti,
KAH
KAAH
UAI

Dan lain-lain.

Sedangkan komutator juga tidak kalah sering kita gunakan dalam bermain Rubik. Komutator komposisi yang berbentuk,

xyx^{-1}y^{-1}

AKEH adalah komutator.
ENAM juga komutator.
AKEH ENAM adalah 2 komutator berurutan.

UAA IAA juga komutator. Dan masih banyak yang lainnya.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

Matematika Politik dan Kekuasaan

Meski matematika ilmu pasti sedangkan politik dan kekuasaan penuh ketidakpastian tetapi ada beberapa titik temu antara keduanya.

Mumpung masih segar dalam ingatan saya ingin menuliskan sebagian kecil titik temu matematika dan politik kekuasaan.

Beberapa bulan lalu saya heran melihat papan iklan yang sangat besar di Jakarta. Mungkin ratusan meter persegi ukuran iklan itu (puluhan meter kali puluhan meter). Lebih heran lagi, tidak lama berselang, kota Bandung juga dibanjiri iklan yang sama. Iklan apakah gerangan?

Ratusan iklan tersebut berbunyi kira-kira, “AM for demokrat 1″.

Berbagai pertanyaan mucul dalam pikiran saya.

1. Siapakah lawan AM? Kok lawan AM tidak beriklan sama sekali? Sedangkan AM memberondong dengan beragam iklan.

2. Apakah SBY mendukung AM? Karena sepanjang iklan yang saya lihat tidak ada pernyataan dukungan eksplisit.

3. Bagaimana dengan masalah keuangan?

Belakangan saya tahu bahwa pertarungan sebenarnya berlangsung di Bandung. Dan pemenangnya… adalah … dengar-dengar adalah AU.

Jadi apa pesan matematika untuk dunia politik kekuasaan?

“Jika Anda bukan mayoritas maka jangan buru-buru menentukan sikap,” itulah pesan matematika sederhana untuk politik kekuasaan. Apa maksudnya?

Poros Tengah telah memainkan senjata matematika ini dengan baik. Waktu itu Amin Rais dengan baik memenangkan pertarungan di awal-awal reformasi. Tetapi yang lebih menang lagi justru Gus Dur.

Mari sedikit hitung-hitungan matematika dengan beberapa asumsi.

Asumsikan PDI P menang pemilu dengan suara terbesar 35%.
Golkar menantang di urutan kedua dengan suara 30%.

Jelas tidak ada suara mayoritas dalam hasil pemilu itu. Amin Rais dkk dengan cekatan membentuk poros tengah. Anggap poros tengah berhasil menghimpun suara 25%.

Meski poros tengah hanya kekuatan kecil tetapi memberi suara alternatif. PDI P tampak dengan yakin mengajukan Mega sebagai Capres. Golkar tidak setuju. Poros tengah bermain cantik mengajukan Gus Dur sebagai Capres.

Seperti kita tahu, Gus Dur menang. Mengapa? Bukan karena Poros tengah memiliki suara terbesar. Tetapi Golkar yang tidak mendukung Mega dapat saja berpindah ke Gus Dur. Dengan asumsi kasar, Gus Dur mengantongi suara 25% dari Poros tengah dan 30% dari Golkar.

Dalam kasus ini meski PDI P terbesar nomor 1 tetapi dia bukan mayoritas. Maka jangan buru-buru mengambil sikap.

Kejadian seperti ini tampaknya bisa berulang pada kasus AM di Bandung.

Mari berasumsi,

AM memiliki suara terbanyak 40%.
AU urutan kedua dengan suara 35%
MA urutan ketiga dengan suara 25%

Dengan asumsi di atas jelas bahwa AM urutan pertama tetapi bukan mayoritas. Iklan besar-besaran AM dapat membuat lawan AM sadar diri dan seperti kita tahu ….tampaknya AU menyalip dukungan suara dan memenangka pertarungan.

Tetapi kasus SBY di pemilu 2009 lebih menarik lagi. Dengan melihat-lihat situasi terakhir. Memperhatikan kekuatan lawan. SBY yakin mengantongi suara mayoritas (asumsikan 55%) maka ia memilih calon wakil presiden dari non partai.

Dengan suara mayoritas itu, siapa pun wakilnya, tetap mengantar SBY memenangkan pertarungan. Dan dengan mengambil wakil non partai membuat kekuasaan SBY tak terpecah. Atau SBY tidak berhutang kekuasaan.

Jadi, pesan dari matematika,

“Jika Anda bukan suara mayoritas maka jangan buru-buru menentukan sikap. Meskipun Anda adalah suara terbanyak.”

Tetapi jika Anda adalah suara mayoritas tentu terserah Anda. Hanya saja risiko dan tanggung jawab ada dalam diri Anda.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat….