Alhamdulilah… akhirnya Paman APIQ berbagi tentang aljabar abstrak: group of permutation atau grup permutasi.
Awalnya, Paman APIQ hanya menyimpan aljabar abstrak sebagai hobi pribadi saja. Tetapi karena hampir setiap anggota keluarga besar APIQ telah akrab dengan permainan kubus Rubik maka sudah semakin dekat dengan aljabar abstrak.
Mari kita mulai diskusi dengan grup permutasi.
Permutasi adalah penyusunan ulang dari anggota suatu kelompok – himpunan.
Misal kita memiliki himpunan A = {1, 2, 3} maka ada 6 macam permutasi yang mungkin
123
132
213
231
312
321
Ada berapa permutasi dari 4 anggota semisal B = {1, 2, 3, 4} ?
Seperti permainan Algeometi sebelumnya, kita dapat menghitung banyaknya permutasi dengan faktorial.
Posisi pertama: 4 pilihan.
Posisi kedua: 3 pilihan.
Posisi ketiga: 2 pilihan.
Posisi keempat: 1 pilihan.
Banyaknya susunan yang mungkin adalah:
4x3x2x1 = 24 = 4!
Mari kita lajutkan dengan group. Apakah yang dimaksud dengan group?
Group adalah suatu himpunan dengan suatu operasi yang memenuhi syarat tertentu.
Syarat tersebut adalah:
1. Tertutup; operasi akan memberikan hasil dalam group itu sendiri.
2. Terdapat anggota identitas.
3. Setiap anggota memiliki invers.
4. Asosiatif
Contoh: Himpunan bilangan bulat dengan operasi penjumlahan adalah group.
Mari kita cek syarat sebagai group.
1. Tertutup; penjumlahan 2 bilangan bulat selalu menghasikan bilangan bulat lagi. Misal 2 + 3 = 5.
2. Memiliki anggota identitas yaitu 0. Bilangan bulat berapa pun ditambah 0 akan tetap menjadi bilangan itu sendiri. Misal 3 + 0 = 3.
3. Memiliki invers; misal 3 + (-3) = 0.
-n adalah invers dari n. -3 adalah invers dari 3.
4. Asosiatif. Jelas dari penjumlahan berlaku asosiatif; (2+3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9
Sedangkan contoh yang bukan group adalah himpunan bilangan bulat dengan operasi pembagian. Misal 3/2 tidak menghasilkan bilangan bulat atau bersifat tidak tertutup.
Lalu apa yang dimaksud dengan grup permutasi (group of permutation)?
Grup permutasi adalah grup yang anggotanya merupakan fungsi permutasi.
Permainan kubus Rubik adalah contoh dari suatu grup permutasi.
Mari sedikit mengambil contoh grup permutasi.
I: 123 menjadi 123
A: 123 menjadi 312
B: 123 menjadi 231
G = {I, A, B} adalah contoh grup permutasi dengan operasi komposisi.
Mari kita cek…kita dapat membayangkan 123 adalah sudut-sudut dari suatu segitiga sama sisi. Fungsi A adalah memutar searah jarum jam 1/3 putaran. Fungsi B adalah memutar berlawanan arah jarum jam 1/3 putaran. Dan tentu I adalah 0 putaran.
Dengan membayangkan sudut-sudut segitiga sama sisi dan operasi perputaran atau rotasi maka
1. Tertutup; A + B = I; A + A = B; B + B = A
2. Identitas: I
3. Invers A = B
4. Asosiatif; cek (A + B) + A = I + A = A = A + I = A + (B + A)
Jadi G = {I, A, B} adalah grup permutasi.
Apa gunanya mempelajari grup permutasi?
“Hahahaha….. pertanyaan yang menarik!” sahut Paman APIQ.
Banyak sekali manfaat mempelajari grup permutasi. Minimal kita dapat lebih memahami filosofi kubus Rubik.
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)
