Kita mengenal Archimedes sebagai tokoh fisika dengan hukum Archimedes-nya. Konon Archimedes menemukan teori tersebut ketika ia mandi di bak. Seketika Archimedes berteriak gembira, “Eureka…eureka…eureka…”. Tidak sadar bahwa dirinya masih dalam keadaan telanjang.
Lebih dari itu, Archimedes juga merupakan seorang matematikawan yang hebat. Dia berhasil menghitung luas lingkaran dan keliling lingkaran dengan akurat. Tentu saja Archimedes juga menemukan bilangan pi yang akurat. Bilangan pi merupakan perbandingan luas lingkaran dengan r^2 atau perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya.
Yang menarik adalah pendekatan Archimedes dalam meghitung luas atau keliling lingkaran. Ia menggunakan potongan-potongan kecil poligon luar dan dalam. Ratusan tahun kemudian metode ini hanya dianggap biasa saja sampai jaman Renaisans. Di tangan Isaac Newton dan – secara terpisah – Leibniz metode tersebut menjadi landasan dasar kalkulus.
Bilangan pi hampir selalu terlibat dalam menghitung lingkaran. Karena pi adalah perbandingan keliling dan diameter maka wajar bila para ilmuwan mengira bahwa pi adalah bilangan rasional. Sampai pada abad ke-9 Masehi, Muhammad Ibnu Musa Aljabar Alkhawaritzmi, raksasa matematika dari timur tengah, menyatakan bahwa pi adalah irasional.
Sebagai bilangan irasional tentu saja pi tidak akan pernah dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat. Bilangan pi semakin misterius.
Abad ke-19 menambah misteriusnya bilangan pi. Bilangan pi adalah bilangan irasional yang spesial. Yaitu bilangan irasional yang transenden.Yakni pi bukan solusi dari polinom apa pun yang koefisiennya bilangan rasional. Dengan kata lain, pi tidak dapat dinyatakan secara aljabar. Lindenmann, matematikawan Jerman, berhasil membuktikan pi sebagai bilangan transenden.
Mari kembali ke masa lalu, ke jaman Archimedes. Archimedes menghitung luas lingkaran dengan menghitung poligon dalam dan poligon luar. Tentu kita tahu luas lingkaran di antara dua poligon tersebut.
Poligon dalam < Lingkaran < Poligon luar
Poligon paling mudah kita hitung adalah segi empat atau persegi. Bayangkan sebuah lingkaran dengan jari-jari r = 1.
Poligon luar berupa persegi dengan sisi 2r. Maka luas poligon adalah 2 x 2 = 4.
Poligon dalam berupa persegi dengan diagonal 2r. Maka sisi = 2r/(akar 2) dan
luas = 2/(akar2) x 2/(akar2) = 4/2 = 2
Jadi
2 < luas lingkaran < 4
Tentu kita sudah tahu bahwa luas lingkaran adalah pi.
Bagaimana bila kita mengambil poligon adalah segi 6 beraturan?
Poligon luar terdiri dari 6 segitiga besar sama kaki dengan sudut puncak 60 derajat.
Maka
tinggi = t = 1
alas = a = 2.tan 30 = 2/(akar3)
Luas = 1/2 a.t = 1/2. 1. 2/(akar3) = 1/(akar3)
Luas poligon = 6 x 1/(akar3) = 6/(akar3)
= akar (36/3)
= akar 12 (Sekitar 3,46. Selesai).
Luas poligon dalam?
Poligon dalam terdiri dari 6 segitiga sama kaki kecil yang puncaknya 60 derajat dan panjang kaki 1.
Maka luas segitiga adalah,
luas = 1/2 a.b sinC
= 1/2 1.1 sin 60
= 1/2 x 1/2 akar3
= 1/4 akar3
Luas poligon dalam
= 6 x 1/4 akar3
= 3/2 akar3
= akar (27/4) = (sekitar 2,6)
Jadi dapat kita tulis
akar (27/4) < luas lingkaran < akar (12)
2,6 < luas lingkaran < 3,46
Archimedes melanjutkan perhitungan sampai poligon segi 96 dan mendapatkan luas lingkaran = pi, yaitu:
223/71 < pi < 22/7
Sampai sekarang kita masih memakai bilangan pi yang dihitung Archimedes dua ribu tahun yang lalu yaitu pi = 22/7.
Melanjutkan langkah Archimedes, Paman APIQ telah menyarankan pendekatan menghitung luas lingkaran dengan menghitung sektor lingkaran.
Dengan meminjam Teorema Apit dalam kalkulus, Paman APIQ telah menunjukkan bahwa luas sektor lingkaran = luas segitiga.
L = 1/2 a.t = 1/2 a.r = 1/2 (s.r)r
a = alas = busur
t = r = jari-jari
s = sudut sektor
Dengan pendekatan segitiga di atas, kita dapat menunda keterlibatan bilangan irasional transenden pi dalam banyak kasus sektor lingkaran.
Misal diketahui sektor lingkaran yang berjari-jari 14 cm dan panjang busur 7 cm. Tentukan luas sektor lingkaran tersebut!
Pembahasan:
L = 1/2 a. t
= 1/2 x 7.14
= 49 cm persegi (Selesai).
Sesuai harapan kita, kita tidak melibatkan bilangan irasional transenden pi. Tentu hal ini akan memudahkan kita mengenalkan konsep lingkaran kepada para siswa-siswa kita.
Bagaimana menurut Anda?
Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)
