Archive Bulanan: September 2009

(Bag.6.1) Makin Banyak Latihan Integral Parsial, Makin Hebat

Posted on September 16, 2009 | Tinggalkan komentar

Al, Geo, Meti telah memiliki dasar-dasar penting integral parsial. Bagaimana pun dasar-dasar saja tidak cukup. Al, Geo, Meti perlu lebih banyak berlatih integral parsial.

“Paman APIQ, tolong beri kami lebih banyak latihan integral parsial dong…” Al, Geo, Meti, meminta.
“OK. Jangan khawatir. Mau yang biasa-biasa atau yang luar biasa?”
“Yang luar biasa dong!”

Paman APIQ memilihkan latihan soal integral parsial yang biasa digunakan oleh mahasiswa-mahasiswa ITB dalam kuliah Kalkulus.

Dulu ketika kuliah di ITB saya juga menggunakan buku yang sama. Buku Kalkulus karya Purcell.

Kali ini Al, Geo, Meti berkesempatan berlatih integral parsial sebagaimana para mahasiswa ITB.

“Untuk menguji jawaban akhir, kalian dapat menggunakan integrator online,” kata Paman APIQ.
“Siap Bos!” jawab Al, Geo, Meti.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ).
*Klik di sini untuk lihat latihan integral parsial dari Purcell.
*Klik di sini untuk integrator online

→ Leave a comment

Posted in Uncategorized

Selamat Hari Raya Idul Fitri

Posted on September 15, 2009 | 2 Komentar

Kami keluarga besar APIQ mengucapkan,

Selamat Hari Raya Idul Fitri 1430 H. Mohon maaf lahir dan batin.


Kami mengundang segenap keluarga besar APIQ untuk hadir dalam,

“Silaturahmi Keluarga Besar APIQ”

Hari : Sabtu
Tanggal: 10 Oktober 2009
Jam: 11.00 – 15.00 wib
Tempat: Bandung, Hartz Chicken Buffet Jalan Sukajadi no 225.

Info, undangan, dan konfirmasi silakan email ke quantumyes@yahoo.com

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 2 Komentar

Posted in APIQ

Tagged , ,

(Bag.6) Semakin Canggih dengan Integral Parsial Tingkat 2

Posted on September 15, 2009 | 3 Komentar

Al, Geo, Meti, masih tercenung dengan kehebatan integral parsial. Hebat, canggih, dahsyat itulah integral parsial.

Pada saat bersamaan integral parsial tidak selalu mudah. Kadang-kadang memang mudah. Di saat yang lain integral parsial perlu berulang beberapa kali. Paman APIQ menyebutnya sebagai integral parsial tingkat 2.

Paman APIQ pantang menyerah. Ia terus berusaha untuk menampilkan integral parsial dengan mudah, sederhana, dan kreatif.

Untungnya, kalkulus telah menyediakan apa yang diperlukan Paman APIQ: fungsi eksponen asli. Integral atau diferensial dari fungsi eksponen asli tetap menghasilkan dirinya sendiri.

“Paman APIQ, tolong dong diulang lagi tentang integral parsial yang kemarin,” Al meminta.
“Memang mengapa?” Paman APIQ balik tanya.
“Biar lebih mantap! Gitu lho…” sahut Meti.

Bentuk umum integral parsial adalah:

\int u.dv = u.v - \int v.du

Bila \int v.du mudah dihitung maka jenis integral parsial tingkat 1.

Contoh:

\int x.e^x dx = .... .... ....

= x.e^x - \int e^x dx

= x.e^x - e^x (Selesai).

Tetapi bila \int v.du harus dihitung menggunakan integral parsial lagi maka masuk pada jenis integral parsial tingkat 2 atau lebih.

Contoh:

\int x^2.e^x dx = .... .... ....

“Apakah kalian sudah siap?” tanya Paman APIQ.
“Siap…!” sahut Geo.
“Siapa takut…!” Al dan Meti menimpali.

\int x^2.e^x dx = x^2.e^x - \int e^x.2x dx

Sedangkan integral v.du

\int e^x.2x dx =

\int 2x.e^x dx = 2x.e^x - \int e^x.2 dx

= 2x.e^x - 2.e^x

Substitusi ke integral awal, maka

\int x^2.e^x dx = x^2.e^x - (2x.e^x - 2.e^x )
= x^2.e^x - 2x.e^x + 2.e^x (Selesai).

Atau

= e^x (x^2 - 2x + 2) (Selesai).

“Aku juga bisa kalau begitu Paman,” Geo agak yakin.

Coba yang ini…

\int 3x^2.e^x.dx = ... ... ...

“Hasilnya adalah….” jawab Geo.

= e^x (3x^2 - 6x + 6)

“Betul. Hebat Kamu Geo,” seru Paman APIQ.
“Siapa dulu dong, gurunya….hehehe….” Geo terkekeh.

“Aku juga bisa,” Meti berseru.
“Coba yang ini….” kata Paman APIQ.

\int 5x^2.e^x.dx = ... ... ...

“Hasilnya adalah….” jawab Meti.

= e^x (5x^2 - 10x + 10)

“Hehehe….bisa juga kalian!”

“Sekarang aku, Paman,” Al tidak mau ketinggalan.
“Coba yang ini….” kata Paman APIQ.

\int 7x^2.e^x.dx = ... ... ...

“Hasilnya adalah….” jawab Al.

= e^x (7x^2 - 14x + 14)

“Betul….!”

Mereka terus bermain-main dengan integral parsial yang asyik.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)
*Bersambung
*Klik di sini untuk lihat PETA PIKIRAN integral parsial

→ 3 Komentar

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , , , , ,

(Bag.5.1) Belajar Integral, Diferensial, Kalkulus Paling Mudah dan Mengagumkan

Posted on September 15, 2009 | 3 Komentar

Meski pun banyak orang menganggap bahwa kalkulus sangat susah tetap saja ada bagian yang sangat mudah. Bahkan sangat mengagumkan. Tetapi bagian ini sangat sering dilewatkan.

Paman APIQ menyarankan bagian yang mudah dan bagus itu kita manfaatkan dengan sebaik-baiknya.

Menurut Paman APIQ, kita dapat memanfaatkan bagian ini untuk melatih diferensial dan integral dengan mudah.

Apakah bagian yang paling mudah dan mengagumkan itu?

Fungsi eksponen asli.

Ya, betul!

f(x) = e^x

Mengapa mudah dan mengagumkan?

Karena bila kita integralkan atau kita diferensialkan (turunkan) hasilnya tetap sama dengan fungsi semula. Ah, masa….?

\frac {d (e^x)}{dx} = e^x

\int e^x dx = e^x

Mari kita manfaatkan sifat-sifat ini untuk berlatih integral parsial, misalnya.

\int x.e^x dx = .... .... .... ?

= x.e^x - \int e^x dx

= x.e^x - e^x (Selesai)

Bahkan kita dapat berlatih integral parsial tingkat 2 (2 kali pengintegralan).

\int x^2.e^x dx = .... .... .... ?

= x^2.e^x - \int e^x.2x.dx

= x^2.e^x - (2x.e^x - \int e^x.2dx)

= x^2.e^x - (2x.e^x - 2.e^x)

= x^2.e^x - 2x.e^x + 2 e^x

Nah….asyikkan…?

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)
*Klik di sini untuk lihat PETA PIKIRAN integral parsial.

→ 3 Komentar

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , , , ,

Cara Cepat Menghitung dan Menguji Integral

Posted on September 15, 2009 | 2 Komentar

Dunia internet memang dahsyat. Saya sedang jalan-jalan, menemukan integrator online.

Dengan integrator online ini, kita dapat menghitung setiap integral (tak tentu) secara langsung.

Tinggal masukkan integral kita, sudah deh…muncul jawabannya dan beberapa catatan penting.

Bagi saya integrator online ini memberi banyak manfaat.

1. Membantu kita untuk menghitung integral dengan cepat dan semoga tepat.

2. Megecek, atau menguji setelah kita melakukan perhitungan integral sudah benar atau belum. Semacam kunci jawaban.

3. Bagi guru atau dosen, ketika membuat soal ujian, dapat mengecek dulu bentuk jawaban yang diharapkan.

Saya sendiri barusan mencoba menghitung integral sin pangkat 8. Hasilnya mengagumkan. Silakan mencobanya…

Saya sendiri semakin meyakini betapa pentingnya kreativitas manusia. Karena itu, APIQ ikut serta mencerdaskan kehidupan bangsa melalui matematika kreatif.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 2 Komentar

Posted in inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , , ,

Penetapan 1 Syawal (20 September 2009) dan 1 Ramadhan 2009

Posted on September 15, 2009 | 10 Komentar

Tiap tahun menjadi perbincangan yang menarik apa hasil akhir penetapan 1 ramadhan dan 1 syawal tahun ini. Tahun 2009 ini tampaknya 1 ramadhan semua bareng yaitu 22 Agustus. Sedangkan 1 syawal, idul fitri (idhul fitri), tampaknya juga akan bersamaan yaitu 20 September, Minggu, Ahad.

Kita tahu ada dua metode yang sering kita pakai untuk menentukan 1 syawal. Pertama metode hisab, perhitungan. Secara teoritis, astronomis, matematis, kita dapat menentukan posisi bulan sehingga kita tahu pasti kapan tanggal 1 syawal.

Kedua, metode rukyah, eksperimental. Metode ini melihat langsung secara eksperimen apakah posisi bulan sudah benar-benar terlihat.

Dua metode di atas sama-sama sah. Mereka memiliki landasan secara akal mau pun nash.

Bagi saya di APIQ Matematika Kreatif, semakin banyak metode semakin bagus, semakin kreatif. Saya setuju untuk memperbanyak metode karena akan memperkaya kreativitas kita.

Tetapi ada yang lebih penting dari beragam metode tersebut yaitu bagaimana kita menyikapi perbedaan dengan matang dan dewasa. Pertama, perbedaan adalah sumber ide.

Kedua, perbedaan adalah sarana untuk saling memahami – bukan untuk saling menjatuhkan. Perbedaan adalah sarana untuk sinergi, kerja sama.

Ketiga, perbedaan adalah sarana untuk saling mencintai. Bukankah Tuhan telah menciptakan perbedaan lelaki dan perempuan agar saling mencintai?

Berbeda-beda tetapi tetap satu jua. Mari berbeda dan tumbuh dewasa.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat….

1. Masyarakat Diimbau Ikut Ketetapan Pemerintah
2. Penetapan Jadwal 1 Syawal 1430 H/ 2009 M

→ 10 Komentar

Posted in Inspirasi

Tagged , , , ,

Cara Cepat Menghitung Luas Segitiga Sama Sisi

Posted on September 14, 2009 | 8 Komentar

“Paman APIQ, bukankah menghitung luas segitiga itu mudah?” tanya Geo.
“Memang mudah,” jawab Paman APIQ
“Tinggal 1/2 panjang x lebar atau 1/2 alas x tinggi.”
“Betul.”

“Mengapa banyak orang kesulitan menghitung luas segitiga sama sisi?”
“Mungkin mereka sulit menentukan tingginya,” jawab Paman APIQ.
“Pasti Paman APIQ punya cara mudahnya kan?!”
“Ya iyalah… masa iya dong…”

“Coba kamu sebut panjang sisi dari segitiga sama sisi!”
“6.”
“Luasnya 9 akar 3.”
“Ah…benar gitu…?”

Geo tampak berimajinasi, menguji apakah jawaban Paman APIQ memang benar. Ternyata memang benar.

“Panjang sisi 12,” Geo dengan tiba-tiba.
“Luas 36 akar 3,” jawab Paman APIQ cepat.

“Sisi 22.”
“Luas 121 akar 3″

“Sisi 20.”
“Luas 100 akar 3.”

“Hua ha…ha…ha….kalau hanya gitu aku juga bisa,” teriak Geo.

“Sisi 16, ” Paman APIQ menguji.
“Luas 64 akar 3,” jawab Geo mantap.

“Sisi 26.”
“Luas 169 akar 3.”

Mereka bergembira bermain matematika kreatif APIQ.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 8 Komentar

Posted in APIQ

Tagged , ,

Permainan Matematika Bilangan Prima Bersama APIQ

Posted on September 14, 2009 | 1 Komentar

Meti kecil, usia 4 tahun, senang bermain mino milenium APIQ. Mino yang berwarna-warna memang menarik perhatian Meti.

Paman APIQ mencoba memperkenalkan konsep bilangan prima ke Meti dengan permainan mino milenium. Cara bermainnya sangat sederhana. Meti menyusun mino menjadi persegi panjang (segi empat).

Bila Meti dapat menyusun lebih dari satu macam persegi panjang maka bilangan tersebut bukan prima. Sebaliknya, bila Meti hanya dapat menyusun satu persegi panjang maka bilangan tersebut adalah prima.

“Ini 2 mino. Prima bukan?” tanya Paman APIQ.
“Prima,” jawab Meti.

“Ini 3 mino…”
“Prima.”

“4 mino…”
“Hmmm….” Meti agak ragu.

“Prima atau bukan…ya?”
Meti masih diam.

“Prima atau bukan prima?”
“Bukan prima,” jawab Meti.

“5 mino…”
“Prima.”

“6 mino…”

Meti agak ragu lagi. Paman APIQ mulai berpikir. Sebenarnya Meti sudah tahu bahwa 6 itu bukan prima. Tetapi tampaknya Meti tidak enak mengatakan “bukan” atau “bukan prima”.

“Sekarang kita ganti aturan mainnya. Kamu tinggal pilih bilangan prima atau kompo, ” Paman APIQ menjelaskan.

“5 mino…”
“Prima.” jawab Meti.

“6 mino…”
“Kompo.” sahut Meti mantap.

“7 mino…”
“Prima.”

“8 mino…”
“Kompo.”

Meti bergembira bermain mino milenium bersama Paman APIQ. Paman APIQ sendiri mendapat pengalaman penting lagi. Pemilihan istilah yang tepat bagi anak-anak sangat menentukan.

Anak-anak lebih mudah menentukan bilangan prima atau kompo (komposit) dari pada harus menentukan bilangan prima atau bukan prima.

Sejak dulu Paman APIQ telah menyerukan agar kita memilih istilah yang tepat untuk sebelas (sepuluh satu), dua belas ( sepuluh dua), sepuluh (satu puluh), seratus (satu ratus) dan lain-lain. Bagi kita orang dewasa, istilah seakan-akan hal remeh. Tetapi bagi anak-anak istilah adalah segalanya.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

*Untuk lihat FOTO MINO MILENIUM silakan klik di sini.

→ 1 Komentar

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , , , ,

Sadar Diri

Posted on September 13, 2009 | Tinggalkan komentar

Setangkai bunga yang tidak sadar diri
Layu merana sebatang kara

Setangkai bunga yang sadar diri
Tumbuh menjadi taman nan indah

Seorang manusia yang tidak sadar diri
Menjadi beban semesta

Seorang manusia yang sadar diri
Menebar karya memakmurkan semesta

→ Leave a comment

Posted in Inspirasi

(Bag.5) Integral Parsial Memang Hebat: Satu Kali Integrasi

Posted on September 13, 2009 | 4 Komentar

Al, Geo, Meti menunggu-nunggu kedatangan Paman APIQ. Mereka mengharapkan akan mendapatkan lagi berbagai macam kehebatan integral parsial dari Paman APIQ.

Paman APIQ sendiri dengan sengaja memperkenalkan konsep integral parsial kepada anak-anak, seperti Al, Geo, Meti, secara bertahap. Sehingga anak-anak merasa penasaran.

Sebagaimana kita pelajari, terdapat beberapa langkah untuk menyelesaikan masalah integral. Paman APIQ menyarankan langkah-langkah berikut untuk menyelesaikan integral.

1. Pertimbangkan menggunakan integral biasa – integral sebagai kenaikan pangkat.

\int x^n dx = \frac {1}{n+1} x^{n+1}

Tentu kecuali n = -1 maka akan menghasilkan ln x.

2. Pertimbangkan menggunakan integral substitusi. Ubah bentuk integran menjadi integral kenaikan pangkat seperti di atas.

\int u^n du = \frac {1}{n+1} u^{n+1}

Dalam beberapa kasus kita perlu menggunakan substitusi trigonometri. Tabel integral baku sangat membantu. Purcell merekomendasikan 17 bentuk integral baku. Namun di bagian lampiran buku Kalkulusnya, Purcell mendaftar lebih dari 100 bentuk integral baku.

3. Pertimbangkan integral parsial. Setelah integral substitusi menyerah… giliran integral parsial yang turun tangan. Integral parsial juga dikenal sebagai integral substitusi ganda.

Masih kita ingat, bentuk umum integral parsial adalah:

\int u.dv = u.v - \int v.du

Namun perlu diingat, tidak berarti integral parsial dapat menangani integral yang lebih luas dari integral substitusi. Masing-masing memiliki keunggulannya sendiri. Memang benar integral parsial lebih kompleks dari integral substitusi.

“Itu dia…Paman APIQ,” seru Al.
“Paman APIQ, kami sudah menunggu Paman dari tadi,” kata Meti.
“Bagus kalau begitu. Kalian telah berlatih menjadi orang yang sabar. Orang sabar disayang Tuhan lho…” sahut Paman APIQ.
“Setuju! Itu sebabnya saya selalu disayang Tuhan, ” komentar Geo.

Kemudian mereka berdiskusi tentang integral parsial khusus dengan 1 kali integrasi (pengintegralan).

Beberapa guru tidak mengenali tipe-tipe integral parsial ini. Kesalahan ini dapat mengakibatkan banyak kesulitan bagi siswa. Pada tahap awal, seperti saran Paman APIQ, guru harus memperkenalkan integral parsial tingkat 1 ini.

Apa maksud integral tingkat 1 (dengan 1 kali integrasi)?

Yaitu, dalam bentuk umumnya,

\int v.du dapat langsung dipecahkan. Bila integral vdu ini harus diselesaikan dengan integral parsial lagi maka ia termasuk integral parsial tingkat 2 atau lebih.

Jadi mari kita fasilitasi putra-putri kita dengan integral parsial tingkat 1 ini.

\int 4x.cosx dx = ... ... ...

“Biar aku mencobanya dulu,” kata Al.

\int 4x.cosx dx = 4x.sinx - \int sinx. 4dx

= 4x.sinx + 4.cosx (Selesai)

“Bagus…,” sahut Paman APIQ,” berikutnya…”

\int x.e^x dx = .... .... ...

“Giliranku dong…” Geo langsung semangat.

\int x.e^x dx = x.e^x - \int e^x dx

= x.e^x - e^x (Selesai.)

“Sip, ” sahut Paman APIQ, ” tinggal kamu Meti.”
“Siap….!” jawab Meti.

\int x.e^{2x} dx = ... .... ....

\int x.e^{2x} dx = x.\frac{1}{2}.e^{2x} - \int \frac{1}{2} e^{2x} dx

= x.\frac{1}{2}.e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} (Selesai).

“Mantap…!”

“Asyik juga ternyata belajar belajar integral parsial ya.”

“Tantangan lagi…”

\int x.sin^2x.cosx dx = ... ... ...

“Mengerikan…!”
“Jangan khawatir!”
“Pasti bisa!”

Pilih
u = x; du = dx

dv = sin^2x.cosx dx; v = \int sin^2x.cosx dx

v = \int sin^2x d(sinx)
v = \frac{1}{3} sin^3x

Jadi,

\int x.sin^2x.cosx dx = ... ... ...

= x.\frac{1}{3} sin^3x - \int \frac{1}{3} sin^3x dx

“Selesai.”
“Lho kok selesai? Kan masih ada integral sin pangkat 3?”
“Kalian kan sudah bisa menyelesaikan integral sin pangkat 3?!”
“Pakai integral substitusi kan?”
“Betul.”

Mereka masih melanjutkan diskusi integral parsial tingkat 1 sambil bermain-main.

“Bagaimana dengan

\int x^2. e^x dx = .... .... ....? ” Al bertanya.

“Yang itu masuk integral tingkat 2. Tunggu tanggal mainnya….” sahut Paman APIQ.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 4 Komentar

Posted in APIQ, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , , , , ,