Asyik Belajar Matematika Aljabar dan Geometri bersama APIQ

Posted on Januari 28, 2012 | Tinggalkan komentar

Selamat menikmati…

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ

→ Leave a comment

Posted in APIQ, Inovasi Pembelajaran, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , ,

Latihan Logika Matematika SMA Contoh Tepat Bikin Hebat

Posted on Januari 26, 2012 | 1 Komentar

Paman APIQ menyadari pentingnya menghadirkan contoh yang tepat untuk belajar logika bagi anak-anak. Sayangnya banyak contoh yang tidak tepat sehingga makin membingungkan anak.

Tahap paling penting adalah anak kita memahami logika secara intuitif. Setelah itu anak kita dapat belajar dengan teori-teori logika yang lebih mahir.

“Jika 1 + 1 = 5 maka matahari terbuat dari nasi.”

Intuisi kita mengatakan pernyataan di atas salah. Tetapi logika implikasi matematika menyatakan bahwa pernyataan di atas adalah benar.

Diskusi lebih seru silakan merujuk ke tulisan Paman APIQ sebelumnya:
Logika UN SMA 2010: Gampang-gampang Susah

Seorang teman saya, dosen ITB, berpesan agar saya memberi tempat khusus untuk membahas logika. Saya tertarik dengan pesan itu. Maka saya mulai mengumpulkan dan menulis lagi tentang logika, khususnya logika matematika.

Mari kita ambil contoh persoalan logika pada UN SMA 2010 beberapa waktu lalu. Paman APIQ merasa senang karena akhir-akhir ini UN SMA sering memunculkan persoalan logika implikasi. Karena logika implikasi adalah konsep sangat penting tetapi sering kurang dipahami.

# Perhatikan premis-premis berikut.
1. Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara.
2. Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut bertanding.
Ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas adalah:

A. Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut bertanding.
B. Saya giat belajar atau saya tidak boleh ikut bertanding.
C. Saya giat belajar maka saya bisa meraih juara.
D. Saya giat belajar dan saya boleh ikut bertanding.
E. Saya ikut bertanding maka saya giat belajar.

Jawab:
Kesimpulan dari premis-premis di atas masuk akal dan intuitif. Paman APIQ yakin anak-anak kita akan berhasil menarik kesimpulan dengan benar.

Kesimpulan:
Jika saya giat belajar maka saya boleh ikut bertanding.

Langkah kedua adalah membuat ingkaran (negasi) dari logika implikasi di atas.

Anak-anak sering terjebak dengan membuat ingkaran,

“Jika saya TIDAK giat belajar maka saya TIDAK boleh ikut bertanding.”

Ini bukan ingkaran. Bahkan ini seperti ungkapan yang mirip tapi beda redaksi.

Ingkaran harus benar-benar berlawanan dengan pernyataan aslinya. Maksudnya jika pernyataan benar maka ingkaran harus salah. Begitu pula jika pernyataan salah maka ingkaran harus benar.

Untuk implikasi, Paman APIQ menyarankan agar kita menggunakan contoh bahasa yang lebih nyata. Anak-anak akan mudah memahami.

Implikasi:
Jika SYARAT TERPENUHI maka JANJI TERPENUHI.

Ingkaran dari implikasi:
SYARAT TERPENUHI tetapi JANJI TIDAK TERPENUHI.

Masuk akal kan?

Contoh: implikasi,
Jika datang tepat waktu maka dapat hadiah.

Ingkaran?
Datang tepat waktu tetapi TIDAK dapat hadiah.

Contoh lagi: implikasi
Jika baik hati maka mendapat pacar cantik.

Ingkaran?
Baik hati tetapi TIDAK mendapat pacar cantik.

Mari kembali ke soal UN di atas.
Implikasi:
Jika saya giat belajar maka saya boleh ikut bertanding.

Ingkaran?
Saya giat belajar tetapi saya TIDAK boleh ikut bertanding. (Jawaban A).

Tetapi pilihan jawaban A menggunakan kata hubung “DAN”.

A. Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut bertanding.

Hal ini juga perlu kita pahamkan kepada anak-anak bahwa ungkapan “DAN” = “TETAPI”.

Dalam kehidupan sehari-hari kita menggunakan “DAN” bila selaras. Sedangkan “TETAPI” kita gunakan bila bertentangan.

Secara matematis tetap saja “DAN” = “TETAPI”. Kenyataannya soal-soal resmi sekolah kita hampir selalu memakai istilah “DAN”. Padahal bila kita lebih terbuka memanfaatkan “TETAPI” maka akan banyak membantu siswa-siswa kita. Itulah salah satu usul Paman APIQ.

Tentu saja kita juga dapat menguji suatu ingkaran dengan menggunakan tabel kebenaran ala Aljabar Boolean. Selamat berpetualang…

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
(angger; agus Nggermanto: Pendiri APIQ)

→ 1 Komentar

Posted in APIQ, Inovasi Pembelajaran, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , , ,

Latihan Persamaan Kuadrat UN SMA dan SNMPTN

Posted on Januari 26, 2012 | Tinggalkan komentar

Persamaan kuadrat adalah topik langganan untuk ujian nasional, SNMPTN, atau tes masuk perguruan tinggi di mana saja. Kali ini Paman APIQ mengajak kita berpetualang menikmati persamaan kuadrat. Bersiaplah…

Soal:
Jika p dan q adalah akar-akar persamaan x^2 − 5x −1 = 0 maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p+1 dan 2q+1 adalah ….

Jawab:

Cara 1:

Umumnya kita akan memanfaatkan sifat-sifat akar.

p + q = -b/a = 5

p.q = c/a = -1

Dengan konsep yang sama kita akan membentuk persamaan kuadrat yang dibutuhkan. Ayo…kamu bisa!

(2p + 1) + (2q + 1) = …

(2p + 1)(2q + 1) = …

Cara: 2

Mari kita coba dengan sifat invers.

2p + 1 = y
p = (y – 1)/2

Substitusi ke persamaa kuadrat asal:

x^2 − 5x −1 = 0 ==>

(y^2 – 2y + 1)/4 – 5(y – 1)/2 – 1 = 0

y^2 – 12y + 7 = 0 (Selesai).

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ

→ Leave a comment

Posted in APIQ, Inovasi Pembelajaran, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , , ,

Siswa SMP Asyik Kreatif Jago Matematika bersama APIQ

Posted on Januari 25, 2012 | Tinggalkan komentar

Kalian siswa SMP makin asyik belajar matematika. Silakan menikmati petualangan asyi bersama APIQ.

Kalian siswa SD bersiaplah menjadi jago matematika.
Kalian siswa SMA bersiaplah menyongsong masa depan cerah bersama matematika kreatif.

Ayo…kamu bisa!

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ

→ Leave a comment

Posted in APIQ, Inovasi Pembelajaran, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , ,

Lebih Asyik Belajar Matematika dengan Kreatif

Posted on Januari 25, 2012 | 1 Komentar

Belajar matematika sudah lama menjadi persoalan manusia. Untungnya Paman APIQ telah merumuskan berbagai macam cara yang asyik untuk belajar mengajar matematika. Tetapi ide Paman APIQ ini tidak konvensional. Anda perlu berpikir terbuka untuk mempertimbangkan ide Paman APIQ. Hasilnya, anak Anda lebih kreatif dan berprestasi dalam matematika dan lainnya.

1. Belajar matematika dengan kreatif.

Kata kreatif sering dijauhkan dengan matematika. Menurut Paman APIQ, justru matematika itu sangat dekat dengan kreatif. Lalu apa maksud dari kreatif itu?

“Kreatif adalah memiliki lebih dari 2 cara untuk menangani suatu masalah,” itulah definisi kreatif yang jelas dari Paman APIQ.

Dalam belajar matematika maka semangat kreatif itu perlu terus kita junjung, ” memiliki lebih dari 2 cara”. Cara 1 adalah cara yang diusulkan oleh guru, cara 2 adalah cara yang diusulkan oleh siswa, dan cara 3 adalah cara yang mari kita cari bersama-sama.

2. Belajar matematika dengan inovatif

1 + 1 = 10

10 + 7 = 5

Pernyataan di atas adalah BENAR.

Bagaimana mungkin?

Itulah, matematika selalu berinovasi menghasilkan teori-teori baru. Jadi, sesuai saran Paman APQ, kita harus terbuka menerima ide-ide baru inovasi dalam matematika. Pertama ide baru tersebut kita terima. Kedua kita pelajari. Ketiga kita ambil keputusan akan kita kembangkan atau tidak.

10 + 7 = 5 sepertinya salah kan?

Tetapi pikirkan bahwa operasi di atas adalah bilangan (angka-angka) yang ada pada jam dinding Anda. Bukankah menjadi benar?

3. Pengalaman memperkuat pemahaman

Penjelasan tidak menjadikan matematika jelas.

Penjelasan tidak memperjelas. Penjelasan justru sering membingungkan. Penjelasan panjang lebar menambah luas kebingungan siswa.

Alternatifnya?

Manfaatkan pengalaman. Beri anak-anak kesempatan mengalami matematika. Paman APIQ sering memanfaatkan game untuk memberi pengalaman ke siswa. Setelah anak-anak mengalami matematika maka siswa kita siap untuk menerima penjelasan. Manfaatkan itu.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ

→ 1 Komentar

Posted in APIQ, Inovasi Pembelajaran, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , ,

Pembuktian Segitiga Primitif n=8

Posted on Januari 24, 2012 | Tinggalkan komentar

Sudah teruji bahwa formula,

(a^2)/n = 2b + n

dapat menghasilkan semua segitiga yang mungkin. Karena itu formula yang sama juga dapat menghasilkan semua segitiga primitif yang mungkin.

Pertanyaannya selanjutnya adalah apa syarat-syarat agar kita dapat memproduksi segitiga primitif?

Langkah awal kita akan memperhatikan kasus demi kasus. Selanjutnya kita dapat berharap akan menemukan syarat-syarat yang berlaku umum. Paman APIQ telah berbagi pada tulisan sebelumnya syarat-syarat agar n menghasilkan segitiga primitif. kali ini kita akan fokus pada syarat a setelah n ditentukan.

Misal kita akan mengambil n=8 dan kemudian menentukan syarat a agar terbentuk segitiga primitif.

(a^2)/8 = 2b + 8

Jelas bahwa a = 4g agar terbentuk segitiga bilangan bulat.

(16g^2)/8 = 2b + 8

g^2 = b + 4

Atau

b = g^2 – 4

c = g^2 + 4

a = 4g

Jelas jika g bilangan genap maka tidak koprima maka segitiga tidak primitif.

Bagaimana jika g ganjil?

a = 4g ==> genap

b = g^2 – 4 ==> ganjil

c = g^2 + 4 ==> ganjil

Dapat kita buktikan untuk g > 4 maka b > a

Dapat kita buktikan pula bahwa a dan b adalah koprima.

a = 4g habis dibagi g

b = g^2 – 4 dibagi g akan sisa – 4 atau g – 4.

Dengan demikian untuk g ganjil maka akan terbentuk segitiga primitif.

Mari kita ambil beberapa contoh a = 4g

[12, 5, 13]
[20, 21, 29]
[28, 45, 53]
[36, 77, 85]
[44, 117, 125]

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ

→ Leave a comment

Posted in APIQ, Inovasi Pembelajaran, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , ,

Training Matematika Kreatif 25 Februari 2012

Posted on Januari 23, 2012 | Tinggalkan komentar

Training Instruktur APIQ Quantum akan kami selenggarakan,

Hari: Sabtu
Tanggal: 25 Februari 2012
Waktu: 08.30 – 18.00 wib
Tempat: Jakarta, APIQ Cipinang, Jl Cipinang Muara Raya 23A

Training Matematika Kretif dan Asyik bersama APIQ

Training Kreatif

Investasi: FREE bagi yang pernah ikut training APIQ (excluded lunch). Rp 750.000,- bagi peserta baru dan FREE mengikuti training APIQ berikutnya. Pembayaran melalui transfer,

BNI: 01 39 220 032
Mandiri: 13 2000 67 220 53
a.n Cicik C

BCA: 233 246 1258
a.n Agus N

Info: quantumyes@yahoo.com

Jadwal rencana training APIQ berikutnya:

24 September 2011 di Bandung
(Telah terlaksana dengan sukses)
22 Oktober 2011 di Jakarta
(Telah terlaksana dengan sukses)
19 November 2011 di Jakarta
(Telah terlaksana dengan sukses)
17 Desember 2011 di Bandung
(Telah terlaksana dengan sukses)
21 Januari 2012 di Jakarta
(Telah terlaksana dengan sukses)

24 Maret 2012 di Bandung

→ Leave a comment

Posted in APIQ, Inovasi Pembelajaran, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , , ,

Berhitung Cepat dengan Bilangan Koprima – Relatif Prima

Posted on Januari 23, 2012 | Tinggalkan komentar

Dalam pendidikan dasar, kita jarang mengenal bilangan koprima. Padahal kita sangat akrab dengan bilangan prima – sedikit lagi. Paman APIQ telah mengenalkan bilangan koprima untuk berhitung cepat FPB dan KPK. Dengan koprima maka anak Anda menjadi jago matematika FPB KPK. Bersiaplah…!

Bukan hanya koprima, bahkan Paman APIQ sudah melengkapinya dengan metode tegak lurus sehingga anak Anda menjadi lebih mudah lagi berhitung cepat dengan gambar-gambar yang tegak lurus. Anak Anda dengan cepat mengenali bahwa FPB adalah gambar tegak. Begitu juga anak Anda dengan cepat menghitung bahwa KPK adalah tegak.lurus.

Kali ini Paman APIQ akan mengajak membuktikan segitiga siku-siku primitif. Syarat segitiga primitif adalah apa bila sisi-sisinya membentuk pasangan bilangan koprima.

Untuk segitiga n=1 kita sudah lihat bahwa semua segitiganya adalah primitif. Secara intuitif kita dapat membuktikan karena c = b + 1 maka b dan c adalah pasangan koprima. Karena itu segitiga n=1 selalu primitif.

Misal,

b habis dibagi oleh p maka

c = b + 1 dibagi p akan sisa = 1.

Karena p adalah sebarang bilangan yang memenuhi syarat maka hanya bilangan 1 yang sama-sama dapat membagi habis b dan c. Jadi, b dan c adalah koprima. (Terbukti).

Sedangkan untuk segitiga n=2 kita harus membuktikan bahwa terjadi selang seling primitif.

(a^2)/2 = 2b + 2

Tentu hanya a bilangan genap yang memenuhi syarat agar a, b, dan c bilangan bulat.

Misal

a = 4g

8g^2 = 2b + 2

b = 4g^2 – 1

c = 4g^2 + 1

Misalkan 4g habis dibagi oleh p maka

c dibagi p akan sisa 1
b dibagi p akan sisa p – 1

Jadi, a, b, dan c adalah koprima. Segitiga dengan a = 4g adalah primitif.

Sekarang mari kita coba sisanya,

a = 4g + 2

[(4g + 2)^2]/2 = 2b + 2

(2g + 1)^2 = b + 1

b = 4g^2 + 2g ==> genap

c = b + 2 ==> genap

Jadi, a, b, dan c tidak koprima maka segitiga a = 4g + 2 tidak primitif. (Terbukti)

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ

→ Leave a comment

Posted in APIQ, Inovasi Pembelajaran, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , , ,

Perkembangan Generator Segitiga Primitif

Posted on Januari 20, 2012 | 5 Komentar

Pagi ini, Paman APIQ akan bergabung dalam training APIQ Quantum di TMII Jakarta. Sukses untuk semua.

Sebelum itu, Paman APIQ sudah membuat catatan sebagai berikut ini.

Paman APIQ masih terus mengembangkan generator segitiga dan uji primitivitas. Sebagai generator segitiga, formula Paman APIQ sudah memenuhi dengan baik. Sedangkan uji primitivitas masih menyisakan beberapa tantangan yang menarik.

Formula generator segitiga umum dari Paman APIQ,

(a^2)/n = 2b + n

Sedangkan uji primitivitas telah memberikan hasil – masih terus perlu dibuktikan.

n = 1 maka terbentuk segitiga primitive semua. Dengan a bilangan ganjil.

n = 2 maka terbentuk segitiga primitive dan non primitive secara bergantian. Dengan a bilangan genap.

n = p di mana p bilangan prima bukan 2 maka menghasilkan segitiga non primitive.

Untuk n bilangan komposit maka kita perlu memperhatikan factor-faktor penyusun n.

n = p^x
jika x > 1 maka menghasilkan segitiga primitive dan non primitive

n = (p^x).q.r.s.t

jika x > 1 maka menghasilkan segitiga primitive dan non primitive.
Jika x = 1maka menghasilkan segitiga non primitive.

Sedangkan upaya mengungkapkan b dalam a masih perlu penelitian lebih lanjut.

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ

→ 5 Komentar

Posted in APIQ, Inovasi Pembelajaran, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , ,

Cara Cepat Menghitung Akar Kuadrat

Posted on Januari 19, 2012 | Tinggalkan komentar

Sudah berkali-kali cara menghitung cepat akar kuadrat kita bahas. Tetapi memang selalu menarik. Paman APIQ telah berbagi cara menghitung akar kuadrat yang cepat dan asyik. Anda dapat langsung mempraktikkannya dan bersiaplah jadi jago matematika.

A. Cara Lirikan

Hanya dengan melirik saja, kita dapat menemukan jawaban langsung.

akar 3136 = …
akar 1681 = …
akar 2601 = …

Lirik saja, pakai cara Paman APIQ langsung ketemu jawabannya 56, 41, dan 51.

Caranya?

akar 31|36 = 5|6 = 56 (Selesai).

Cara lirikan ini sudah cukup untuk siswa SD dan SMP. Untuk siswa SD dan SMP semua bentuk akar harus menghasilkan bilangan bulat – atau setidaknya rasional. Sedangkan bilangan irasional belum waktunya.

2. Gunakan Metode Bintang

Dengan metode Bintang dari Paman APIQ kita dapat menghitung baik akar rasional mau pun irasional. Tentu saja syaratnya kita harus mahir metode bintang dari Paman APIQ. Untungnya metode bintang ini dapat dengan mudah kita pelajari.

Menarik lagi, untuk menarik akar kita hanya perlu menghitung bintang setengah jalan. Setengah sisanya hanya untuk penngecekan saja.

akar 3137 = …

Dengan bintang kita dapatkan 56 sisa 1.

Tentu saja kita dapat juga menghitung akar 2 misalnya. Dengan bintang tiga dapat dengan asyik menemukan,

akar 2 = 1,41

3. Metode Newton

Metode Newton adalah metode tingkat tinggi yang bukan bahan ajar untuk siswa dasar menengah. Tapi kita akan mengambil contoh sederhana saja.

x^2 = 2

x^2 – 2 = 0

Untuk menghitung akar 2,

x(b) = x – k/2x

di mana

x(b) adalah x berikutnya atau akar yang kita cari

x adalah perkiraan akar yang kita hitung

k adalah koreksi

k = x^2 – 2

Mari kita mulai menghitung akar 2 dengan x = 1,

x(b) = 1 – (1^2 – 2)/2.1 = 1 – (-1/2) = 1,5

Jika x = 1,5 kita anggap cukup maka selesai. Tetapi bila belum memenuhi harapan maka lanjutkan.

x(b) = 1,5 – ( 1,5^2 – 2)/2.(1,5) = 1,4167

Sebagai sekedar contoh sudah cukup bahwa

akar 2 = 1,4167.

Jika ingin lebih presisi lagi maka proses metode Newton dapat terus kita lanjutkan. Keunggulan metode newton adalah dengan cepat ia melipatgandakan digit yang benar.

Dengan tiga metode yang ditawarkan oleh Paman APIQ di atas kita sudah siap menangani berbagai macam persoalan menghitung akar kuadrat. Plus satu bonus lagi untuk anak SMA biasanya akan sangat berguna menghitung akar dengan faktorisasi.

akar 18 = akar (9.2) = 3 akar 2
akar 75 = akar (25.3) = 5 akar 3
akar 1000 = akar 100.5.2 = 10 akar 5 akar 2

Bagaimana menurut Anda?

Salam hangat…
angger | agus Nggermanto | Pendiri APIQ

→ Leave a comment

Posted in APIQ, Inovasi Pembelajaran, inovasi pembelajaran matematika

Tagged , , , ,